【小学数学一题多解系列】几何计算题

　　例116 有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米.如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？

　　（北京市西城区）

　　【分析1】因为正方体有6个相等的面，所以每个面的面积是30÷6=5平方厘米.拼成一个大长方体要减少一个面的面积，同时增加两个面的面积.由此可求大长方体的表面积.

　　【解法1】30-30÷6+30÷6×2

　　=30-5+10=35（平方厘米）.

　　或： 30+30÷6×（2-1）

　　=30+5=35（平方厘米）.

　　【分析2】因为拼成大长方体后，表面积先减少一个面的面积，同时又增加两个面的面积，实际上增加了一个面的面积.

　　【解法2】 30+30÷6=30+5=35（平方厘米）.

　　【分析3】把原来正方体的表面积看作“1”.先求出增加的一个面是原来正方体表面积的几分之几，再运用分数乘法应用题的解法求大长方体的表面积.

　　【分析4】因为原来正方体的表面积是6个小正方形面积的和，拼成大长方体的表面积是7个小正方形面积的和，所以可先求每个小正方形的面积，再求7个小正方形的面积.

　　【解法4】30÷6×（6+1）

　　=30÷6×7=35（平方厘米）.

　　答：大长方体的表面积是35平方厘米.

　　【评注】比较以上四种解法，解法2和解法3是本题较好的解法.

　　例117 大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，大正方体体积比小正方体的体积多21立方分米，小正方体的体积是多少？

　　（北京市东城区）

　　【分析1】把小正方体的体积看作“1倍”，那么大正方体的体积是小正方体的2×2×2=8（倍），比小正方体多8-1=7（倍）.由此本题可解.

　　【解法1】21÷（2×2×2-1）

　　=21÷7=3（立方分米）.

　　【分析2】把小正方体的棱长看作“ 1”，那么大正方体棱长就是2.

　　【分析3】先求出大、小正方体的体积比，再求21立方分米的对应份数，最后求出每份的体积即小正方体的体积.

　　【解法3】大、小正方体的体积比？

　　（2×2×2）∶（1×1×1）=8∶1

　　小正方体的体积是多少立方分米？

　　21÷（8-1）=3（立方分米）

　　答：小正方体的体积是3立方分米.

　　【评注】解法1的思路简单，运算简便.

　　例118 一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高是3米.把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内正好装满，这个圆柱形粮囤的高是多少米？（天津市和平区）

　　【分析1】由题意可知，麦堆的体积等于圆柱粮囤的体积.所以先求出麦堆的体积，再除以圆柱粮囤的底面积，即得粮囤的高。

　　【解法1】麦堆的底面半径是多少？

　　25.12÷3.14÷2=4（米）

　　麦堆的体积是多少立方米？

　　圆柱粮囤的高是多少米？

　　综合算式：

　　【分析2】根据麦堆的体积和圆柱粮囤体积相等列方程解.

　　【解法2】设圆柱粮囤高是h米.

　　体积，而这个圆柱与粮囤的体积相等，即积一定，根据圆柱体积=πr2h可知，圆柱高h与半径的平方r2成反比例.由此列方程解.

　　【解法3】设圆柱粮囤高为h米.

　　麦堆底半径：25.12÷3.14÷2=4（米）

　　粮囤底半径：4÷2=2（米）

　　16=4h

　　h＝4

　　答：这个圆柱形粮国的高是4米.

　　【评注】解法3的思路最简单、最灵活，运算最简便，是本题的最佳解法.

　　例119 一个圆锥体的体积是36立方分米，高是9分米，比与它等底的圆柱体的体积小12立方分米，这个圆柱体的高是多少分米？（天津市河西区）

　　【分析1】先求圆锥的底面积即圆柱的底面积，再求圆柱体积，最后求圆柱的高.

　　【解法1】圆柱底面积是多少？

　　36×3÷9=12（平方分米）

　　圆柱的体积是多少？

　　36+12=48（立方分米）

　　圆柱的高是多少？

　　48÷12=4（分米）

　　综合算式：（36+12）÷（36×3÷9）

　　=48÷12=4（分米）.

　　【分析2】如果设圆柱高为h，那么它相当于高为3h的等底圆锥，而这的高与圆锥的体积成正比例.

　　【解法2】设圆柱体的高是h分米.

　　（36+12）∶3h=36∶9

　　答：这个圆柱体的高是4分米。

　　【评注】解法2的思路简单明白，运算最为简便，是本题的较好解法.本题还可用方程解，读者试解一下.

　　例120 如下图，求阴影部分的面积（单位：厘米）.

　　（湖北省武汉市）

　　【分析1】从图中条件可知，三角形为等腰直角三角形，所以两个锐角都是45°.因此用三角形的面积分别减去三个扇形的面积，即得阴影面积.

　　【解法1】（10+10）×（10+10）÷2

　　=20×20÷2-3.14×25-3.14×25

　　=200-78.5-78.5=43（平方米）

　　【分析2】因为三个空白扇形恰好拼成180°的扇形，所以用三角形的面积减去圆心角是180°的扇形面积，即得阴影部分的面积.

　　【解法2】（10+10）×（10+10）÷2

　　=20×20÷2-3.14×10×10÷2

　　=200-157=43（平方厘米）.

　　【分析3】同分析2.用三角形的面积减去半圆的面积，即得阴影部分的面积.

　　【解法3】（10×2）×（10×2）÷2-3.14×10×10÷2

　　=200-157=43（平方厘米）.

　　答：阴影部分的面积是43平方厘米.

　　【评注】 比较以上三种解法，解法3的思路较灵活，运算简便，是本题较好解法.

　　例121 右下图是由若干个1立方厘米的正方体木块摆成的图形，它的体积是多少立方厘米？

　　（广东省广州市越秀区）

　　【分析1】把此图分为三层，最底层的长是5厘米，宽是4厘米，高是1厘米，由此可求底层的体积.同样可求第一层和第二层的体积，再将三层的体积加起来即得此形体体积.

　　【解法1】最底层的体积是多少？

　　5×4×1=20（立方厘米）

　　第一层和第二层的体积共多少？

　　4×2×2=16（立方厘米）

　　此形体的体积是多少？

　　20+16=36（立方厘米）

　　综合算式：5×4×1+4×2×2

　　=20+16=36（立方厘米）.

　　【分析2】把这个形体切成一个长4厘米、宽3厘米、高1厘米和一个长4厘米、宽2厘米、高3厘米的两个长方体，求其体积和.

　　【解法2】4×3×1+4×2×3

　　=12+24=36（立方厘米）.

　　【分析3】把原形体补充为一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，求出它的体积，再减去多补充的体积4×3×2=24（立方厘米），即得原形体的体积.

　　【解法3】5×4×3-4×3×2

　　=60-24=36（立方厘米）.

　　【分析4】因为第一、二层共有4×2×2=16（块），第三层有4×5=20（块），三层共36块，并且每块1立方厘米，由此可求36块多少立方厘米.

　　【解法4】1×（4×2×2+4×5）

　　=1×（16+20）=36（立方厘米）.

　　答：它的体积是36立方厘米.

　　【评注】以上四种解法各有特色，读者可根据自己的实际情况灵活选用.

　　例122 如图，已知圆的直径是8厘米，求阴影部分的周长和面积.

　　（陕西省西安市新城区）

　　【分析1】图中阴影部分的周长是大圆半周长与小圆两个半周长的和，它的面积是大半圆的面积与小半圆面积的差，再加小半圆面积的和.

　　【解法1】

　　周长：3.14×8÷2+3.14×（8÷2）÷2×2

　　=25.12÷2+12.56÷2×2

　　=12.56+12.56=25.12（厘米）

　　=3.14×4×4÷2-3.14×2×2÷2+3.14×2×2÷2

　　=25.12（平方厘米）.

　　【分析2】由图可知两个小半圆是相等的，因此阴影小半圆恰好补充空白小半圆，那么阴影面积等于大圆面积减去空白大半圆面积；阴影周长是小圆周长与大圆半周长的和.

　　=12.56+12.56=25.12（厘米）

　　=3.14×16-3.14×8

　　=3.14×（16-8）=25.12（平方厘米）.

　　【分析3】因为大圆直径是小圆直径的2倍，所以小圆的周长和大圆的半周长相等，由此可知阴影部分周长恰是大圆的周长.将阴影小半圆移到空白小半圆使其重合，那么阴影部分恰是大半圆.

　　【解法3】周长：3.14×8=25.12（厘米）

　　=3.14×16÷2=25.12（平方厘米）.

　　答：略.

　　【评注】比较以上三种解法，解法3的思路最直接最灵活，运算最简便，是最佳解法.

　　例123 如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）.

　　（辽宁省大连市中山区）

　　【分析1】先求出扇形的半径和圆心角的度数，再根据扇形面积公式求阴影的面积.

　　【解法1】半径：36÷2=18（厘米）圆心角：360°-60°=300°阴影面积：

　　=847.8（平方厘米）.

　　【分析2】先求出扇形所在圆的面积，再求阴影部分占圆面积的几分之几，最后运用分数乘法应用题的解法求阴影面积.

　　=3.14×270=847.8（平方厘米）.

　　【分析3】先求扇形所在圆的面积，再求空白扇形的面积，用圆面积减去空白扇形面积，即得阴影扇形的面积.

　　=3.14×18×18-3.14×18×3

　　=847.8（平方厘米）.

　　【分析4】把扇形所在圆的面积看作“1”，那么空白扇形的面积占圆

　　的面积.

　　=3.14×270=847.8（平方厘米）.

　　答：阴影部分的面积是847.8平方厘米.

　　【评注】比较以上四种解法，解法1的思路最简单，运算最简便，是本题最佳解法.

　　例124 在一个现代化的体育馆里铺设了30块长20米、宽3.5米、厚0.03米的硬塑地板，这个体育馆的面积有多少平方米？

　　（江苏省南京市鼓楼区）

　　【分析1】先求出每块硬塑板的占地面积，再求30块硬塑板的面积即体育馆占地面积.

　　【解法1】20×3.5×30

　　=70×30=2100（平方米）.

　　【分析2】把这30块硬塑板平放成宽20米，长是30个3.5米的长方形，求出这个长方形的面积即体育馆的面积.

　　【解法2】3.5×30×20

　　=105×20=2100（平方米）.

　　【分析3】把这30块硬塑板平放成长是30个20米、宽是3.5米的长方形，求出这个长方形的面积即体育馆的面积.

　　【解法3】20×30×3.5

　　=600×3.5=2100（平方米）.

　　答：这个体育馆的面积有2100平方米.

　　【评注】解法1的思路最直接，解法最佳.

　　例125 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）.

　　（吉林省）

　　【分析1】先求平行四边形的面积，再求空白三角形的面积，用平行四边形的面积减去三角形的面积，即得阴影部分的面积.

　　【解法1】8×4-8×4÷2

　　=32-16=16（平方厘米）.

　　【分析2】假设ae是6厘米，那么be的长是8-6=2厘米.由此直接求出两个阴影三角形的面积，再求它们的面积和，即得阴影面积.

　　【解法2】假设ae长6厘米，那么be的长是8-6=2厘米.

　　6×4÷2+2×4÷2

　　=12+4=16（平方厘米）.

　　【分析3】因为三角形dec和平行四边形等底等高，所以三角形dec的面积是平行四边形面积的一半.由此求出平行四边形的面积再除以2即得阴影部分的面积.

　　【解法3】8×4÷2=16（平方厘米）.

　　【分析4】把三角形ade沿ab向右平移，使ad与bc重合，这样两个阴影三角形恰好拼成一个底是8厘米、高是4厘米的三角形，求出此三角形的面积即得阴影面积.

　　【解法4】8×4÷2=16（平方厘米）.

　　答：阴影部分的面积是16平方厘米.

　　【评注】解法1和解法2虽然易于理解和掌握，但运算较繁.解法3和解法4的思路直接，简单灵活，运算简便，是本题最佳解法.

　　例127 如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）.

　　（湖南省长沙市东区）

　　【分析1】先求大半圆的面积，再求小半圆的面积，用大半圆面积减去小半圆面积即得阴影部分的面积.

　　=1413-39.25

　　=1373.75（平方厘米）.

　　【分析2】先求大圆面积，再求小圆面积，用大圆面积减去小圆面积，再除以2即得阴影部分的面积.

　　=（2826-78.5）÷2

　　=2747.5÷2=1373.75（平方厘米）.

　　【分析3】本题是求半圆环面积.可先求圆环面积，再除以2即得.如果设大圆半径为r，小圆半径为r，那么圆环面积=πr2-πr2=π（r2-r2）

　　【解法3】r=60÷2=30（厘米）

　　r=10÷2=5（厘米）

　　3.14×（30×30-5×5）÷2

　　=3.14×（900-25）÷2

　　=2747.5÷2=1373.75（平方厘米）.

　　【评注】比较以上五种解法，前四种解法的综合算式可通过乘法分配律相互转化，其中解法3的运算简便，是本题的较好解法.

　　例129 从一个长方体上截下一个棱长4厘米的正方体后，剩下的是一个长方体，它的体积是32立方厘米.原来长方体最长的一条棱是多少厘米？

　　（山西省太原市）

　　【分析1】因为截下的是正方体，所以剩下长方体的截面是正方形.因此可求出剩下长方体的长，再加上截下正方体的棱长，即得原来长方体的最长棱.

　　【解法1】剩下长方体的长？

　　32÷（4×4）=2（厘米）

　　原来长方体的最长棱？

　　2+4=6（厘米）

　　综合算式：32÷（4×4）+4

　　=32÷16+4=6（厘米）.

　　【分析2】用剩下长方体的体积加上截下正方体的体积，即得原来长方体的体积.再根据“长方体体积=底面积×高”，用原长方体的体积除以底面积即得它的最长棱.

　　【解法2】截下正方体的体积？

　　4×4×4=64（立方厘米）

　　原来长方体的体积？

　　64+32=96（立方厘米）

　　原长方体的最长棱？

　　96÷（4×4）=6（厘米）

　　综合算式：（4×4×4+32）÷（4×4）

　　=（64+32）÷16=96÷16=6（厘米）.

　　【分析3】根据“剩下的长方体体积加上截下的正方体体积等于原来长方体的体积”这一等量关系，列方程解.

　　【解法3】设原来最长棱x厘米.

　　32+4×4×4=（4×4）x

　　32+64=16x

　　x=96÷16

　　x=6

　　【分析4】用比例解法.因为长方体的体积÷高=底面积，底面积一定，所以长方体的体积和高成正比例.即长方体的体积与最长棱成正比例.

　　【解法4】设原来最长棱x厘米.

　　（4×4×4）∶4=（32+4×4×4）∶x

　　64∶4=96∶x

　　64x=4×96

　　x=6

　　答：原来长方体的最长棱是6厘米.

　　【评注】后三种解法都需要求出原来长方体的体积，再求原来的最长棱，运算较繁.解法1的思路简单明白，且运算简便，所以是本题的最佳解法.

　　例131 把一个高3分米圆柱体的底面分成许多个相等的扇形，然后把圆柱体切开，拼成一个与它等高的近似长方体，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加12平方分米，原来圆柱体的体积是多少？

　　（福建省福州市）

　　【分析1】把圆柱体切拼成长方体后，它的表面积实际上增加了两个长方形s的面积，即12平方分米.由此可求一个长方形的面积，再除以它的长（即圆柱的高），即得它的宽（即圆柱底面半径）.由此可根据圆柱体积公式求它的体积.

　　【解法1】3.14×（12÷2÷3）2×3

　　=3.14×4×3=37.68（立方分米）.

　　【分析2】先求圆柱底面半径，再求圆柱底面半周长，即长方体的长.最后根据长方体的体积=长×宽×高，或把s面当作底面，根据长方体体积=底面积×高，求出长方体体积，即圆柱的体积.

　　【解法2】（12÷2÷3×3.14）×（12÷2÷3）×3

　　=6.28×2×3=37.68（立方分米）.

　　或： （12÷2）×（12÷2÷3×3.14）

　　=6×6.28=37.68（立方分米）.

　　【分析3】如图把长方体的前面（曲面）当作底面，长方体的宽（半径）当作高，根据长方体的体积=底面积×高，求出长方体的体积.关键是先求圆柱侧面积的一半（曲面）.

　　【解法3】（12÷2÷3×3.14×3）×（12÷2÷3）

　　=18.84×2=37.68（立方分米）.

　　答：原来圆柱体的体积是37.68立方分米.

　　【评注】比较以上四种解法，解法1的运算较简便，思路也较直接，是本题较好的解法.后两种解法的运算虽繁些，但对一些特殊题目的解答，可起到事半功倍的作用.