欧拉的猜测错了

　　经过观察与思考，人们从现象、经验、数据等中总结出了一般规律。这是科学研究中常用的方法，叫做归纳法。

　　因为归纳法依据的现象、经验、数据等往往是不完全的，所以得出来的结论也不一定就是正确的。它常常需要修正，有时甚至会被推翻。

　　例如，金、银、铜、木材等等都是热胀冷缩，于是，人们归纳出一切物质都是热胀冷缩的结论。可是，也有些物质，例如4℃以下的水，不是热胀冷缩。所以，结论应当修改为大部分物质是热胀冷缩的。

　　数学是一门严密的科学。它也需要用这种不完全的归纳法，只是所导出来的结论，都必须给出严密的证明。否则，这些结论是不能称为定理的，只能谨慎地叫做猜测。

　　法国数学家费尔玛观察了这种类型的数，发现F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4＝65537，都是质数。于是，他提出猜测：所有的非负整数Fn 都是质数。可是，瑞士数学家欧拉发现，F5=225＋1＝641脳6700417，不是质数，费尔玛的猜测被推翻了。

　　十八世纪的一个皇帝，想把三十六名军官排成一个方阵。这三十六名军官来自六支部队，每支部队派出将军、上校、中校、少校、上尉、中尉各一名。皇帝希望方阵的每一行与每一列的六名军官，都分别来自六支部队，并且军衔各不相同，可就是排列不起来。后来，他去请教数学家欧拉。欧拉把具有这种性质的方阵叫做正交拉丁方。他猜测：n 是自然数，由4n＋2 个人组成的正交拉丁方都不存在。

　　后来，有人证明了在n＝1 时，猜测是正确的，就是六阶正交拉丁方不存在。n＞1 时，猜测是不是正确呢？直到1960 年左右，才解决了这个问题，得出的定理与欧拉的猜测恰好相反：在n＞1 时，4n＋2 阶正交拉丁方都是存在的。

　　过去，虽然很多猜测被证明是错误的，可是这对于推动科学的发展，还是有积极作用的。所以，当代美国数学家、教育家波利亚认为：

　　"没有主意是最不好的。"

　　"要成为一个好的数学家，你必须首先是一个猜想家。"

　　"要有理智上的勇气，应当准备修正我们的任何一个信念。"

　　1931 年，美国青年数学家哥德尔证明：在数学中，有许多这样的命题，它既不能被推翻，也不能被证明。这个定理使数学家大吃一惊。从此，数学家对待猜想，有了三个努力方向：一、证明它；二、推翻它；三、说清楚它既不能被证明、也不能被推翻的道理。