统计学悖论：选举悖论

　　M：假定有三个人鈥敯⒈炊�、伯恩斯和克拉克竞选总统。

　　M：民意测验表明，选举人中有2/3愿意选A不愿选B，有2/3愿选B不愿选C。是否愿选A不愿选C的最多？

　　M：不一定！如果选举人像图中那样排候选人，就会引起一个惊人的逆论。我们让候选人来说明这一点。

　　甲（男）：我是阿贝尔。选举人中有2/3喜欢我，不喜欢伯恩斯。

　　乙（女）：我是伯恩斯小姐。2/3的选举人喜欢我，超过克拉克。

　　丙（男）：我是克拉克。2/3的选举人欢迎我超过阿贝尔！

　　这个逆论可追溯到18世纪，它是一个非传递关系的典型，这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的。学生们也许已经很熟悉传递关系的概念。它适用于诸如鈥湼哂阝�潯⑩�湸笥阝�潯⑩�溞∮阝�潯⑩�湹扔阝�潯⑩�溝扔阝�潯⑩�溨赜阝�澋裙叵怠Ｒ话憬玻�如果有一个关系R使得xRy（即x对y是R关系）、yRz成立时，则xRz成立，这时R就是可传递关系。

　　选举悖论使人迷惑，是因为我们以为鈥満枚疋�澒叵底苁强纱�递的，如果某人认为A比B好，B此C好，我们自然就以为他觉得A比C好。这条悖论说明事实并不总是如此。多数选举人选A优于B，多数选举人选B优于C，还是多数选举人选C优于A。这种情况是不可传递的！

　　这条悖论有时称为阿洛悖论，肯尼思路阿洛曾根据这条悖论和其他逻辑理由证明了，一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的，他因此而分享了1972年诺贝尔经济学奖金。

　　假定有三个对象，而且具有三种可以比较的指数，当我们将它们两两比较按各指标排列，再从中选择一个时，就可能出现上述矛盾。假定A、B、C是向一位姑娘求婚的三个人。上面图中那种排列情况可解释为这个姑娘就三个方面比较这三个人优劣的次序，例如第鈥斄惺侵腔郏�第二列是容貌，第三列是收入。如果两两相此，这个可怜的姑娘就发现，她觉得A比B好，B比C好，C又比A好！

　　数学家保罗路哈尔莫斯提出用A、B、C代表苹果酱馅饼（一种类似馅饼的果饼）、浆果酱馅饼和樱桃酱馅饼。一个饭店每次只供给两种。上面图中A、B、C的三种排列表示一个顾客从饼的味道、新鲜程度和大小对三种饼的排列次序。对这位顾客而言，认为苹果比浆果好、浆果比樱桃好、樱桃比苹果好，这就是最完美的理解。

　　这个悖论还可以在产品检验中出现，一个统计学家也许发现，有2/3的美国家庭妇女喜好润肤霜A超过B，2/3的喜好B超过C。化学公司得知这一结果后也许就将润肤霜C作为最不受欢迎的一种而降低产量，岂不知第三个统计可能会表明还有2/3的人喜欢C超过A呢。