小学四年级奥数专题（三）高斯求和

　　德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

　　1＋2＋3＋4＋鈥Γ�99＋100＝？

　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝鈥Γ�49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为

　　（1+100）脳100梅2＝5050。

　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于鈥湹炔钍�列鈥澋那蠛臀侍狻�

　　若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：

　　（1）1，2，3，4，5，鈥Γ�100；

　　（2）1，3，5，7，9，鈥Γ�99；

　　（3）8，15，22，29，36，鈥Γ�71。

　　其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

　　和=（首项+末项）脳项数梅2。

　　例1 1＋2＋3＋鈥Γ�1999＝？

　　分析与解：这串加数1，2，3，鈥Γ�1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得

　　原式=（1＋1999）脳1999梅2＝1999000。

　　注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

　　例2 11＋12＋13＋鈥Γ�31＝？

　　分析与解：这串加数11，12，13，鈥Γ�31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

　　原式=（11+31）脳21梅2=441。

　　在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到

　　项数=（末项-首项）梅公差+1，

　　末项=首项+公差脳（项数-1）。

　　例3 3＋7＋11＋鈥Γ�99＝？

　　分析与解：3，7，11，鈥Γ�99是公差为4的等差数列，

　　项数=（99－3）梅4＋1＝25，

　　原式=（3＋99）脳25梅2＝1275。

　　例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

　　解：末项=25＋3脳（40-1）＝142，

　　和=（25＋142）脳40梅2＝3340。

　　利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。