五年级奥数专题十八:最大最小
同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题,这一讲就来讲解这个问题。
例1两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少?
分析与解:将两个自然数的和为15的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面7种情况:
15=1+14,1脳14=14;
15=2+13,2脳13=26;
15=3+12,3脳12=36;
15=4+11,4脳11=44;
15=5+10,5脳10=50;
15=6+9,6脳9=54;
15=7+8,7脳8=56。
由此可知把15分成7与8之和,这两数的乘积最大。
结论1如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。特别地,当这两个数相等时,他们的乘积最大。
例2比较下面两个乘积的大小:
a=57128463脳87596512,
b=57128460脳87596515。
分析与解:对于a,b两个积,它们都是8位数乘以8位数,尽管两组对应因数很相似,但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现,因为57128463比57128460 多3,87596512比87596515少3,所以它们的两因数之和相等,即
57128463+87596512=57128460+87596515。
因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差,根据结论1可得a>b。
例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园,围成菜园的最大面积是多少?
分析与解:已知这个长方形的周长是36米,即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为
长+宽=36梅2=18(米),
由结论知,围成长方形的最大的面积是9脳9=81(米2)。
例3说明,周长一定的长方形中,正方形的面积最大。
例4两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?
分析与解:48的约数从小到大依次是1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。
所以,两个自然数的乘积是48,共有以下5种情况:
48=1脳48,1+48=49;
48=2脳24,2+24=26;
48=3脳16,3+16=19;
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