最大公约数和最小公倍数难题讲解(2)

　　答：这两个数的和为147或105。

　　例3 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

　　解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b.因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a₁，b=5b₁，且（a₁，b₁）=1，a₁＜b₁。

　　因为 a＋b=50， 所以有5a1+5b1=50， a1+b1=10。 满足（a₁，b₁）=1，a₁＜b₁的解有：

　　答：这两个数为5与45或15与35。

　　例4 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

　　解：设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）＝d，a＝da₁，b＝db1，其中（a₁，b₁）＝1。 因为两个自然数的积=两数的最大公约数³两数的最小公倍数， 所以 240=d³60， 解出 d＝4， 所以 a=4a₁，b=4b₁. 因为a与b的最小公倍数为60， 所以 4³a₁，b₁＝60， 于是有 a₁，b₁＝15。

　　答：这两个数为4与60或12与20。

　　例5 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。

　　解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b，（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。

　　因为a+b＝54，所以da1+db1=54。 于是有d³（a1＋b1）＝54，因此，d是54的约数。 又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114， 所以da1b1-d=114， 于是有d³（a1b1-1）=114，

　　因此，d是114的约数。 故d为54与114的公约数。

　　由于（54，114）＝6，6的约数有：1、2、3、6，根据定理3，d可能取1、2、3、6这四个值。 如果d＝1，由d³（a1+b1）＝54，有a1＋b1=54；又由d³（a1b1-1）＝114，有a1b1=115。 115=1³115=5³23，但是1＋115=116≠54，5＋23=28≠54，所以d≠1.