曹冲称象与七桥问题
传说,在公元前287年,叙拉古王国的国王打了胜仗,为了庆祝胜利,他决定献给神一顶金子做的王冠。他找来一位珠宝商,给了他一些金子让他制造一顶王冠。王冠制作得很漂亮,重量也跟原来国王给的黄金一样重。但是国王还是怀疑珠宝商盗窃了一部分黄金,而在王冠中掺进了同等重量的白银。他请阿基米德鉴定王冠是不是纯金的,但不许拆散王冠。阿基米德冥思苦想多天,都不得要领。一天,他跨入盛满水的浴缸洗澡,看到水向外溢,顿时豁然开朗,兴奋地喊:鈥溛艺业郊煅橥豕诘姆椒蒜潯
阿基米德由此发现了浮力定理,从而解决了王冠的检验问题。
在我国古代,也流传一个利用浮力原理的鈥湶艹宄葡筲澋墓适隆2懿俚亩硬艹逍∈焙蚍浅4厦鳌R惶欤腥怂透懿僖恢淮笙螅懿俸芨咝耍胫勒飧雠尤淮笪锞烤褂卸嘀亍5堑侥睦锶フ艺庋蟮某幽兀课汗哪背嘉涫棵墙示∧灾蚕氩怀鲆桓霭旆āP⌒〉牟艹迦聪氤隽艘桓雒罘ǎ核倘税汛笙笄5揭恢淮竽敬希滔履敬某运疃龋蝗缓蟀汛笙笄O麓虼献敖恍┦椋媚敬运疃扔朐吹目潭纫恢率奔赐V辜绦笆椤8莞×υ恚笙蟮闹亓亢痛鲜榈闹亓肯嗟龋稚⒌氖槭强梢杂闷胀ǖ某映瞥銎渲亓康摹b湶艹宄葡筲澇晌Ч琶捞浮
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从某种意义上讲,数学证明或数学计算中的每一步都是一种转化,转化思想是数学中最基本、最重要的一种思想。可以毫不夸张地说。转化能力的高低是衡量一个人数学水平的重要标志之一。
匈牙利数学家罗莎曾经对此作过一个有趣的比喻:
假如在你面前有煤气灶、水壶、水笼头和火柴,现在要烧一壶开水,你应该怎样做?
回答很简单,谁都知道应该怎样做。在水壶中加满水;点燃煤气;把水壶放到煤气灶上。
接着罗莎再提出问题:现在所有的条件都和原来一样,只是水壶中已灌满了水,这时你又应该怎样做?对于这一问题人们通常的回答往往是:那就只要点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上就可以了。但罗莎指出,这不是最好的回答,因为只有物理学家才会这样做,而数学家则会倒去壶中的水,因为他已经把后一问题转化为前一个问题了,而前一问题是已经解决了的。
罗莎的比喻也许过于夸张,但它的确表明了数学思想方法的一个特点,善于使用转化的方法。
在18世纪,东普鲁士哥尼斯堡(今属立陶宛共和国)内有一条大河,河中有两个小岛。全城被大河分割成四块陆地。河上架有七座桥,把四块陆地像图1那样联系起来。当时许多市民都在思索如下的问题:一个散步者能否从某一陆地出发,不重复地经过每座桥一次,最后回到原来的出发地。
这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。
这个问题似乎不难解决,所以吸引了许多人都想来试试看,但是日复一日谁也没有得出确定的答案。于是有人便写信给当时着名的数学家欧拉(Euler,1707 ~1783)求教。欧拉毕竟是数学家,他并没有去重复人们已多次失败了的试验,而是首先产生了一种直觉的猜想:许多人千百次的失败,也许意味着这样的走法根本就不存在。于是欧拉把七桥问题进行了数学的抽象。用A、B、C、D四个点表示四块陆地,用两点间的一条线表示联接两块陆地之间的一座桥,就得到如图2 那样一个由四个点和七条线组成的图形。
于是,七桥问题就转化为一个象图2那样的图形是否可以鈥溡槐驶澋奈侍狻J裁唇锈溡槐驶澞兀磕蔷褪潜什蛔祭肟剑黄烧鐾夹危恳惶跸咧恍砘淮危坏弥馗础O裢2这样的图形能不能一笔画呢?1736年欧拉证明了:答案是否定的。
为什么呢?
因为除了起点和终点之外,我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话,对于每一个中间点来说,当画笔沿某条线到达这一点时,必定要沿另一条线离开这点,并且进入这点几次,就要离开这点几次,一进一出,两两配对,所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此,一个图形能否一笔画就有了一个判别准则:
一个可以一笔画的图形最多只能有两个点(起点和终点)与奇数条线相连。
再看图2中的四个点都是与奇数条(三条或五条)线相连的,根据这一判别准则,是不能一笔画的。
从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。
曾经难倒许多人的七桥问题,经过欧拉这一转化,就像哥伦布竖鸡蛋一样,简单而圆满地解决了。
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