教学内容：

　　北师大版小学数学五年级上册。（教科书第82、83页。）

　　课标分析：

　　本节课的主要内容是使学生能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系，发展学生的归纳与概括的能力，渗透数学建模的思想，从中感受数学文化的魅力。

　　教材分析：

　　本课的内容是独立成篇的，这节课与本单元的其它知识之间没有必然的前后联系，是一节相对独立的数学活动课。教材提供的学习内容对于五年级的学生来说比较容易。但本课知识虽然简单，却是帮助学生建立数学模型的好题材，即是让学生能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，又是让学生体会到图形与数的联系，发展学生归纳与概括能力，渗透数学建模思想。

　　学生分析：

　　1、学生的知识基础

　　五年级学生在数的方面，已经认识了自然数和整数，倍数因数，奇数偶数，质数合数，小数、分数等。在形的方面，对长方形、正方形、平行四边形，三角形，梯形的特征也有了深刻的认识。但是学生对利用图形研究数，寻找数和图形之间的联系，还有困难。学生对线围成的基本图形有深刻的认识，但是点阵中的几何图形，只有点，没有线，学生要利用自己的想象加以补充和延伸，这对学生来说会感觉比较陌生。

　　2、学生的能力基础

　　学生在一年级学过找规律填数，二年级学过按规律接着画，四年级学过探索图形的规律。因此五年级学生具备一定的观察能力、抽象概括能力、逻辑推理能力等。然而小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持。而这节课完全是数学思想、数学方法的教学，极为抽象，因此对部分学生来说还是会感觉有点困难。

　　教学目标：

　　1．能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。

　　2、培养学生推理、观察、归纳和概括能力。

　　3、感受鈥準�形结合鈥澋纳衿嬷�美，并获得鈥溛夷芊⑾肘�澲�成功体验。

　　教学重点：

　　探究发现点阵中的规律。

　　教学难点：

　　总结概括规律。

　　教学准备：

　　课件，五子棋，磁扣等。

　　教法学法：

　　1、教师教学方法：让学生独立或合作式探究规律，鼓励学生有自己的发现、有不同的发现。尽量减少教师的介入

　　2、学生学习方法：大胆让学生画一画、摆一摆、算一算，让学生多角度探究规律，充分感受美图美思

　　教学过程：

　　一、展示图片，引出课题

　　1、展示图片，（投影）今天老师给大家带来了几幅图片，请同学们欣赏。

　　师：这些图片有什么特点？

　　生：好像都是由点组成的。

　　师：是呀，不要小看了这样一个小小的点，点是几何图形中最基本的图形，许许多多的点按照一定的规律排列起来就构成了点阵。

　　早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，并且发现了有许多个这样的点组成的点阵中许多有趣的规律。这节课，我们也来尝试研究点阵的规律。（板书课题鈥斺�數阏笾械墓媛桑�。

　　二、细心观察，探求规律

　　1、出示正方形点阵，探索正方形点阵的规律。

　　A、第一个规律。

　　师：（出示点阵），这就是他们当时研究过的一组点阵，请大家用数学的眼光仔细观察，思考这样两个问题：（出示思考题）（指名读）

　　（1）每个点阵可以看成什么图形？

　　（2）每个点阵中分别有多少个点？你是怎样观察出来的？

　　小组讨论，指名回答。

　　师：每个点阵可以看成什么图形？（正方形），同意吗？

　　生1：我认为第一个点阵不能看成一个正方形，是一个圆形。

　　师：其他同学也同意他的观点吗？

　　师：其实第一个点阵虽然只是一个点，但是我们可以把它看成边长是1的小正方形。是吗？

　　师：每个点阵中分别有多少个点？

　　生2：第一个点阵有1个点，第二个点阵有4个点，第三个点阵有9个点，第四个点阵有16个点。

　　师：你能说一说你是怎么得到每个点阵中点的个数的吗？你是怎样观察出来的？

　　生：我是通过数出每个点阵中点的个数得到的。

　　师：谁还有不同的方法？有没有更快一些的方法？

　　生：我是通过计算得到的。

　　师：能具体说一说是怎样通过计算得到的吗？

　　生：第一个点阵有1个点；第二个点阵横着看，每行有2个点，有2行，共有2脳2＝4个点；第三个点阵每行有3个点，有3行，共有3脳3＝9个点；第4个点阵每行有4个点，有4行，共有4脳4＝16个点。

　　师：同学们现在你们发现正方形点阵的规律了吗？点阵的序号与它的点的个数算式有没有关系？有什么关系？如果用字母n来表示点阵的序号，那么正方形点阵点的个数是多少呢？

　　生：我们分析了前面几个点阵图的特点，认为在这个点阵图中，点的个数的规律是：1脳1，2脳2，3脳3，4脳4，鈥炩�炓簿褪莕脳n 师：这种数法真是又快又方便！照这样下去，能不能根据你们的发现画出第5个点阵呢？（学生画，指名说，教师投影显示）

　　师：第6个呢、第7个鈥炩�灥�100个点阵的点的个数都能瞬间求出来。也就是说：鈥準堑诩父龅阏螅�就用几乘几鈥潱ò迨椋�

　　师：如果一个点阵它有81个点，它应该是第几个点阵？每行有几个点？每列有几个点？

　　（这个画点阵的过程虽然简单，但体现了由数鈥斺�斝蔚淖�换。培养了学生主动进行数形转换的意识。）

　　B、第2个规律

　　师：刚才我们是怎样观察的？（横着数和竖着数）

　　正方形点阵还有没有其它的观察方法呢？能不能换个角度观察？

　　鈥溞弊趴从挚梢缘玫绞裁葱碌挠胄蚝庞泄氐乃闶侥兀壳胪�学们独立思考，写出算式，然后汇报。鈥潱ㄍ队埃�

　　观察并思考

　　（1）分别用算式表示每个点阵点的个数。

　　（2）你发现了什么规律？

　　学生汇报，教师板书

　　第1个：1=1

　　第2个：1+2+1=4

　　第3个：1+2+3+2+1=9

　　第4个：1+2+3+4+3+2+1=16

　　第N个：1+2+3+鈥濶+鈥�+3+2+1

　　师：鈥溗�发现什么规律呢？鈥�

　　生：鈥溔绲�2个点阵就从1加到2再加回来，第3个点阵就从1加到3再加回来，第4个点阵就从1加到4再加回来鈥潯�

　　师小结：鈥湹诩父龅阏缶痛�1连续加到几，再反过来加回到1鈥澱飧龉媛伞�

　　刚才是横竖数，鈥湹诩父龅阏缶褪羌赋思糕�潯�

　　C、第3个规律

　　师：刚才同学们发现了点阵中的两个规律，这些点阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？（出示教材第82页第（3）题图），老师把第5个点阵中的点用五条折线划分，这样划分后，看看你又有什么新发现呢？

　　师：我们把第1个折现内的点看成第一个点阵，该用什么算式表示？其他呢？小组讨论，列出算式，全班汇报。

　　小组代表汇报。

　　生：（总结）每用折线画一次后，点阵中的个数是

　　1＝1 1＋3＝4 1＋3＋5＝9 1＋3＋5＋7＝16 鈥炩��

　　师：（总结）这样划分后，点阵中的规律是：1，1＋3，1＋3＋5，1＋3＋5＋7，鈥炩��

　　师：第1个点阵是1，第2个点阵是在第1个的基础上多3个，第3个点阵呢？ 有的学生可能说：鈥溦獯味际瞧媸�相加。鈥�

　　教师问：鈥湸悠媸�几加起？加几个？是随意的几个奇数相加吗？鈥�

　　通过这样的提问，引导学生说出鈥湹诩父龅阏缶痛�1开始加几个连续奇数鈥潯�

　　师：真了不起。这种划分方法，我们可以叫做鈥溦巯呋�分法鈥潯�

　　第几个点阵，就是从1开始加几个连续奇数。

　　通过研究点阵，我们发现这组正方形点阵中有很多规律。这3种规律是从不同的角度观察出来的，无论你从什么角度去观察，得到的结论都与它的序号有关系，所以我们以后再研究点阵的时候，都要想一想跟它的序号有什么关系，这样才能更简单。

　　（在这里，教师不是让学生发现规律就结束了，而是让学生活学活用这些规律。让学生体会到我们刚才发现的正方形点阵中的规律，其实就是一个完全平方数的规律，它可以应用到所有的完全平方数。）

　　刚才这3种方法，哪一种更简便？你更喜欢哪一种？那么我们再研究正方形点阵的时候，用哪一种更简便？但点阵是丰富的，多变的，不仅只有正方形点阵，还有其他图形的点阵。这时，我们就需要开拓自己的思维，多想一些方法来研究它们与序号之间的关系。有没有兴趣再研究其他图形的点阵？

　　（在刚才的新课教学的环节中，学生经历了观察、思考、合作、交流、表达等过程，培养了观察能力、想象能力、概括能力。并深刻体验到数与形，数与式，式与式之间的联系，培养学生利用数形结合的思想来解决问题的意识和能力。）

　　三、牛刀小试

　　1. （课件出示教材第83页试一试第1题）师：你们能用刚学过的几种方法中发现这个点阵的规律吗？

　　生：竖排脳横排：1脳2，2脳3，3脳4，4脳5 师：与它们的序号有什么关系？都是序号和它后面相邻的两个自然数的乘积。在点子图上画出第5个点阵。

　　小组交流，研究：上面的点阵还有其他的规律吗？

　　生：（1）两个两个数：1脳2，3脳2，6脳2，10脳2，15脳2 （2）斜着一层一层数：1+1，1+2+2+1，1+2+3+3+2+1，1+2+3+4+4+3+2+1 2.师：同学们真善于发现和创造规律。除了正方形和长方形点阵外，还有很多其它形状的点阵，我们研究他们，同样会有很大的收获。看看，这是一组什么形状的点阵？（课件出示试一试第2题三角形点阵图）你能用一层一层数的方法，表示你发现的规律吗？展示，根据你发现的规律画出第五个点阵。

　　生；1，1+2，1+2+3，1+2+3+4鈥炩��

　　师：其他同学看明白了吗？有什么规律？（第几个点阵，就从1加到几。）

　　上面的点阵还有其他的规律吗？学生思考，指名说。（投影显示）

　　四、兴趣优在：（课件出示教材第83页练一练）

　　第2题：按规律画出下一个图形。

　　师：这道题就象梅花桩，指第一个，走了几个梅花桩？

　　生：3个。

　　师：指第二个，共走了几个梅花，增加几个桩？

　　生：7个，增加了4个。

　　师：指第三个，共走了几个梅花桩，又增加了几个桩？

　　生：13个，又增加了6个。

　　师：如果再往下走，你们想想会再多走几个桩，你能写出算式吗？写完算式，学生自己独立画出点阵。小组合作，讨论点阵中蕴涵的规律，然后汇报交流。

　　生：交流，探索总结规律

　　（这一题与前几个题区别很大，前几题的点阵可以看作规则的几何图形，这一题点阵图不规则，要画出下一个图形，既要抓住数量的变化，又要抓住形状的变化。进一步体会到数形结合的重要。）

　　五、知识拓展

　　欣赏生活中的点阵图片。思考：生活中有哪些地方运用点阵的知识？（座位、站排做操、楼房的窗子等。

　　师：点阵不只是点，很多有规律的排列，都可以看成点阵。

　　投影跳棋、围棋、十字绣、花坛里的鲜花、水晶灯等图片。

　　六、课堂小结

　　师：同学们今天学习了这么多的点阵，有没有收获，哪些收获？

　　七、课后操作

　　自创新的点阵图，并说出点阵规律。