计算角的度数

　　在计算角的度数时常常用到以下知识：平角的度数是180°；周角的度数是360°；直角的度数是90°；三角形的内角和等于180°；等腰三角形的两个底角相等；直角三角形中两个锐角的和等于90°；等边三角形的每个内角等于60°．

　　下面我们学习如何计算角的度数．

　　例1 如图6—1，求∠1，∠2，∠3的度数．

　　分析：因为∠1与130°的和

　　是一个平角，用180°减去130°就是∠1的度数；利用直角三角形中两个锐角和等于90°，再由前面得出的∠1的度数，可以求出∠2的度数；∠2与∠3的和是180°，由此得到∠3的度数．

　　解：∠1=180°-130°=50°

　　∠2=90°-∠1=90°-50°=40°

　　∠3=180°-∠2=180°-40°=140°

　　例2 如图6—2，已知∠c=25°，ad=db=bc，求∠ade的度数.

　　分析：要求∠ade的度数，只须求∠adc的度数，因为bd=bc，所以∠bdc=∠c，根据三角形内角和等于180°，可以求出∠dbc的度数，由于∠dbc与∠abd的和是180°，所以∠abd的度数可以求出，又因为ad=db，所以∠bad=∠abd，再利用三角形内角和等于180°，得到∠adb的度数，最终求出∠ade的度数．

　　解：因为db=bc

　　所以∠bdc=∠c=25°

　　在△bdc中，

　　∠dbc=180°-∠c-∠bdc=180°-25°-25°=130°

　　又因为∠abd+∠dbc=180°

　　所以∠abd=180°-∠dbc=180°-130°=50°

　　因为ad=db

　　所以∠dab=∠abd=50°

　　在△adb中

　　∠adb=180°-∠dab-∠abd=180°-50°-50°=80°

　　所以∠adc=adb+∠bdc=80°+25°=105°

　　∠ade=180°-∠adc=180°-105°=75°

　　说明：∠ade=∠dab+∠c，这并不是偶然的巧合，而是因为∠ade与∠adc的和是180°，∠adc与∠c及∠dab的和也是180°，所以∠ade等于∠c+∠dab．∠ade叫做△adc的一个外角，由此得出一个重要的结论：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图6—3中，∠dac、∠abe、∠acf都分别叫三角形abc的外角，而

　　∠dac=∠abc+∠acb

　　∠abe=∠bac+∠acb

　　∠acf=∠abc+∠cab

　　例3 如图6—4，已知：∠acb=3∠a=6∠b，de⊥ab，求∠d的度数．

　　分析：在△abc中，由∠a、∠b、∠acb的关系及它们的和等于180°，可以得出∠b的度数，在直角三形deb中，∠d与∠b的和是90°，可以得出∠d的度数．

　　解：在△abc中

　　∠a+∠b+∠acb=180°

　　因为3∠a=6∠b，所以∠a=2∠b，又∠acb=6∠b，所以2∠b+∠b+6∠b=180°

　　9∠b=180°

　　∠b=20°

　　在直角三角形deb中，

　　因为∠d+∠b=90°

　　所以∠d=90°-∠b=90°-20°=70°．

　　例4 同样大小的12个正方形，如图6—5那样排列起来，∠abc是多少度？

　　分析：要求∠abc的度数，似乎无从下手，但仔细观察图形特点，如果将直线ab经过的三个小正方形绕点a逆时针旋转90°，如图6—6，点d移到点e，ab与ac重合，得到△abc是直角三角形，并且ab=ac，这样容易求出∠abc的度数．

　　解：将直线ab经过的三个小正方形绕点a逆时针旋转90°，则△abd与△ace重合，即△abc是直角三角形，且ab=ac，所以∠abc=∠acb=45°．

　　例5 将正方形abcd对半折叠后，折线为ef，如图6—7，将b点利用折线移到ef上，折线为cp，求∠1、∠2的度数．

　　分析：以cp为折线折叠后点b移到点m，如图6—8，以ef为折线折叠后，点b与c重合，所以mb=mc，又因为以cp为折线折叠后，点b与m重合，所以bc=mc，∠1=∠3，于是由mb=mc=bc知，△mbc是等边三角形，所以∠1+∠3=60°，可以求出∠1的度数．而在△abm中，由于mb=bc知，mb=ab，所以△abm是等腰三角形，由∠mbc的度数可以求出∠abm的度数，这样便可以求出∠bam的度数，最终可以求出∠2的度数．

　　解：因为以ef为折线折叠后，b与c重合，所以mb=mc，以cp为折线折叠后，b与m重合，所以bc=mc，∠1=∠3，由mb=mc=bc知，△mbc是等边三角形，所以2∠1=60°，即∠1=30°．

　　在△abm中，因为mb=ab，所以，△abm是等腰三角形，所以

　　∠abm=90°-∠mbc=90°-60°=30°

　　∠bam=（180°-30°）÷2=75°

　　∠2=90°-∠bam=90°-75°=15°．

　　例6 如图6—9，已知△abc是等边三角形，d是ac中点，e是状．

　　分析：由于△abc是等边三角形，所以∠3=60°，如果能设法求出∠2的度数，就可以求出∠e的度数．

　　解：因为△abc是等边三角形，所以∠abc=∠acb=60°．因为d是ac中点，ab=bc，所以以bd为折线折叠的话，必然a与c重合，因

　　由于∠3=∠2+∠e

　　由∠1=∠e知db= de，所以△dbe是等腰三角形．