小学四年级奥数专题(四)数的整除性(1)(2)
(5')一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。
(6')一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1 在下面的数中,哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被9整除?
234,789,7756,8865,3728,8064。
解:能被4整除的数有7756,3728,8064;
能被8整除的数有3728,8064;
能被9整除的数有234,8865,8064。
例2 在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?
解:如果56□2能被9整除,那么
5+6+□+2=13+□
应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除;
如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除;
如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。
到现在为止,我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征。根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如,判断一个数能否被6整除,因为6=2×3,2与3互质,所以如果这个数既能被2整除又能被3整除,那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除。同理,判断一个数能否被12整除,只需判断这个数能否同时被3和4整除;判断一个数能否被72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除;如此等等。
例3 从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。
解:因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征,数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。
例4 五位数能被72整除,问:A与B各代表什么数字?
分析与解:已知能被72整除。因为72=8×9,8和9是互质数,所以既能被8整除,又能被9整除。根据能被8整除的数的特征,要求能被8整除,由此可确定B=6。再根据能被9整除的数的特征,的各位数字之和为