小学四年级奥数专题（四）数的整除性（1）

　　我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

　　数的整除具有如下性质：

　　性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

　　性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

　　性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9脳7＝63整除。

　　利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：

　　（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

　　（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

　　（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

　　（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

　　（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

　　（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

　　其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

　　因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被 4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。

　　类似地可以证明（5）。

　　（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

　　837＝800＋30＋7

　　＝8脳100＋3脳10＋7

　　＝8脳（99＋1）＋3脳（9＋1）＋7

　　＝8脳99＋8＋3脳9＋3＋7

　　＝（8脳99＋3脳9）＋（8＋3＋7）。

　　因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。

　　利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：

　　（4＇）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。