小学四年级奥数专题（六）数的整除性（2）

　　这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

　　一个数从右边数起，第1，3，5，鈥ξ怀莆�奇数位，第2，4，6，鈥ξ怀莆�偶数位。也就是说，个位、百位、万位鈥︹�κ瞧媸�位，十位、千位、十万位鈥︹�κ桥际�位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：

　　能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。

　　例1 判断七位数1839673能否被11整除。

　　分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

　　根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。

　　一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。

　　例2 求下列各数除以11的余数：

　　（1）41873； （2）296738185。

　　分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]梅11

　　=7梅11＝0鈥︹��7，

　　所以41873除以11的余数是7。

　　（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。

　　（17+11脳2）-32＝7，

　　所以296738185除以11的余数是7。

　　需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）梅11＝1鈥︹��4，所求余数是11-4=7。

　　例3 求除以11的余数。

　　分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。

　　（9脳100-1脳101）梅11

　　=799梅11=72鈥︹��7，

　　11-7=4，所求余数是4。

　　例3还有其它简捷解法，例如每个鈥�19鈥澠媾际�位上的数字相差9-1＝8， 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8脳99=8脳9脳11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。