五年级奥数专题八:奇偶性(2)(3)
分析与解:大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001(枚)。
因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子,所以每摸一次少1枚棋子,摸了1999次后,还剩2001-1999=2(枚)棋子。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况:
(1)所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色,这时大盒内少了一枚黑棋子;当所摸两枚棋子同是白色,这时大盒内多了一枚黑棋子。
(2)所摸到的两枚棋子是不同颜色的,即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒,大盒内少了一枚黑棋子。
综合(1)(2),每摸一次,大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚,即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子,摸了1999次,即改变了1999次奇偶性后,还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子,所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。
例6 一串数排成一行:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数?
分析与解:首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。
1+1=2,2+3=5,3+5=8, 5+8=13,…
这串数的规律是,从第三项起,每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质,可以得出这串数的奇偶性:
奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,……
容易看出,这串数是按“奇,奇,偶”每三个数为一组周期变化的。 1000÷3=333……1,这串数的前1000个数有333组又1个数,每组的三个数中有1个偶数,并且是第3个数,所以这串数到第1000个数时,共有333个偶数。
练习8
1.在11,111,1111,11111,…这些数中,任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗?
2.一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,…,17页。这17个故事有各种编排法,但无论怎样编排,故事正文都从第1页开始,以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的?
3.桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子,那么至少翻转多少次,才能使6只杯子都杯口朝上?
4.70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行数的最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21,…问:最右边的一个数是奇数还是偶数?
5.学校组织运动会,小明领回自己的运动员号码后,小玲问他:“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数?”小明说:“除开我的号码,把今天发的其它号码加起来,再减去我的号码,恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来,到底是奇数还是偶数?
6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到88,66,99。问:原来写的三个整数能否是1,3,5?
7.将888件礼品分给若干个小朋友。问:分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数?