五年级奥数专题十五:孙子问题与逐步约束法

　　在古书《孙子算经》中有一道题：鈥溄裼形锊恢�其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？鈥澮馑际牵河幸欢盐锲罚�三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。

　　我们称这类问题为孙子问题。

　　　　例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。

　　　　分析与解：这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。

　　满足鈥湷�以3余2鈥澋氖�，有2，5，8，11，14，17，鈥�

　　在上面的数中再找满足鈥湷�以5余3鈥澋氖�，可以找到8，8是同时满足鈥湷�以3余2鈥潯⑩�湷�以5余3鈥澚礁鎏跫�的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有

　　8，23，38，53，68，鈥�

　　在上面的数中再找满足鈥湷�以7余2鈥� 的数，可以找到23，23是同时满足鈥湷�以3余2鈥潯⑩�湷�以5余3鈥潯⑩�湷�以7余2鈥澣�个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23＜105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。

　　在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。

　　　　例2 求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。

　　　　分析与解：与例1类似，先求出满足鈥湷�以5余1鈥澋氖�，有6，11，16，21，26，31，36，鈥�

　　在上面的数中，再找满足鈥湷�以7余3鈥澋氖�，可以找到31。同时满足鈥湷�以5余1鈥潯⑩�湷�以7余3鈥澋氖�，彼此之间相差5脳7=35的倍数，有

　　31，66，101，136，171，206，鈥�

　　在上面的数中，再找满足鈥湷�以8余5鈥澋氖�，可以找到101。因为101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然数是101。

　　在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。

　　　　例3 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？