五年级奥数专题十五:孙子问题与逐步约束法(2)

　　　　解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，…

　　再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，…

　　再满足“除以11余4”的数有59。

　　因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。

　　　　例4 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。

　　　　分析与解：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是

　　[6，8，9]-3=72-3=69。

　　例5学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？

　　　　分析与解：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。

　　这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。

　　当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。

　　因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。

　　所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。

　　就是说，方程7x+4y=66有无数个解。由于这类方程的解的不确定性，所以称这类方程为不定方程。

　　根据实际问题列出的不定方程，往往需要求整数解或自然数解，这时的解有时有无限个，有时有有限个，有时可能是唯一的，甚至无解。例如：

　　x-y=1有无限个解，因为只要x比y大1就是解；

　　3x+2y=5只有x=1，y=1一个解；

　　3x+2y=1没有解。

　　　　例6 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。

　　　　解：容易看出，当y=1时，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一个解。

　　因为x=13，y=1是一个解，当x减小3，y增大5时，5x减少15，3y增大15，方程仍然成立，所以对于x=13，y=1，x每减小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整数解有5个：