孙子或剩余定理

　　先提醒大家过去曾经有过的一个经验.

　　如果整数a除以整数b所得余数是1，那么，整数a的2倍、3倍、4倍、鈥︹�Αⅲ╞-1）倍除以整数b所得的余数就分别是

　　1脳2=2，

　　1脳3=3，

　　1脳4=4，

　　鈥︹�︹�︹��

　　1脳（b-1）=b-1.

　　例如，15梅7=2鈥︹�τ�1，即

　　2脳15梅7=4鈥︹�τ�2，

　　3脳15梅7=6鈥︹�τ�3，

　　4脳15梅7=8鈥︹�τ�4，

　　5脳15梅7=10鈥︹�τ�5，

　　6脳15梅7=12鈥︹�τ�6.

　　还请大家注意一条经验.

　　从某数a中连续减去若干个b后，求所得的要求小于数b的差数，实际上就是求数a除以数b所得的余数.

　　例如，从758里连续减去若干个105后，求所得的要求小于105的差数，实际上就是求758除以105所得的余数.即

　　758梅105=7鈥︹�τ�23.

　　下面我们就来研究鈥溗镒游侍忖��.

　　在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：鈥溄裼形锊恢�其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？鈥澮馑际牵�鈥溡桓鍪�除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数.鈥澱飧鑫侍獬莆�鈥溗镒游侍忖��.关于孙子问题的一般解法，国际上称为鈥溨泄�剩余定理鈥�.

　　实际上，上面的问题我们可以这样来想：

　　分别写出除数3、5、7的两两公倍数.如下表：

　　我们在第一组数中选出合乎鈥湷�以7余2鈥澋慕闲∈�鈥斺��30；

　　在第二组数中选出合乎鈥湷�以5余3鈥澋慕闲∈�鈥斺��63；

　　在第三组数中选出合乎鈥湷�以3余2鈥澋慕闲∈�鈥斺��35.

　　根据和的整除性，可知

　　30+63+35=128一定是一个同时合乎鈥湵�3除余2，被5除余3，被7除余2鈥澋氖�（为什么？），但是不一定是最小的.要得到合乎条件的最小数，只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使得差数小于这个最小公倍数就是了.

　　3、5、7的最小公倍数是3脳5脳7=105，因此，由于前面的经验二，可知

　　128梅105=1鈥︹�τ�23.

　　这个余数23就是要求的合乎条件的最小数.

　　有意义的是，虽然孙老先生的解法也是从对上表的思索得到的，但他的解法更具有一般性.亲爱的读者，你能猜想到孙子的一般解法吗？

　　【规律】

　　一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数.孙子的解法是：

　　先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70.即

　　15梅7=2鈥︹�τ�1，

　　21梅5=4鈥︹�τ�1，

　　70梅3=23鈥︹�τ�1.

　　再用找到的三个较小数分别乘以被7、5、3除所得的余数的积连加，

　　15脳2+21脳3+70脳2=233.

　　最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.

　　233梅105=2鈥︹�τ�23，

　　这个余数23就是合乎条件的最小数.

　　以上三个步骤适合于解类似鈥溗镒游侍忖�澋乃�有问题.

　　【练习】

　　1.韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.

　　2.有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？（用两种方法解）

　　3.某数除以7余3，除以8余4，除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.

　　4.某数除以5余2，除以7余4，除以11余8.求适合条件的最小数.

　　5.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？