细致观察巧用特例
有些难题,看似高不可攀,但只要我们勇于探索,细致观察,假以特例,就能出奇制胜,顺利解决问题。
例1.今有鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一。凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?
这就是著名的百鸡问题。这道题的意思是:五个钱可买一只大公鸡,三个钱可买一只大母鸡,一个钱可买三只小鸡,今用1OO个钱,正好买了1OO只鸡。问其中大公鸡、大母鸡、小鸡各几只?
[分析与解]怎样用小学知识解答呢?我们细心观察题目发现:4只大公鸡和3只小鸡共值21个钱,而7只大母鸡也值21个钱。这就是说,每增加4只大公鸡和3只小鸡,同时减少7只大母鸡,不仅总只数保持不变,钱数也不变。
现在假定大公鸡买O只。此时原题就变成了我们容易解答的类似于鈥湴偕肘赦澋奈侍猓100个钱买100只鸡,母鸡一只3个钱,小鸡3只一个钱。问母鸡、小鸡各几只?
对这个特例的解答,可以这样思考:因为1只大母鸡值3个钱,3只小鸡值1个钱。把1只大母鸡和3个小鸡看作鈥溡蛔殁潱敲凑庖蛔榈4只鸡共值4个钱,1OO个钱正好可以买这样的100梅4=25(组),也就是,用100个钱可以买25只大母鸡,3脳25=75(只)小鸡。
有了上面的观察结论和特例结果,我们可用增减法求得百钱买百鸡的各种情况如下:
公鸡 0 只 |
母鸡 25只 |
小鸡 75只 |
增4 4 只 |
减7 18只 |
增3 78只 |
增4 8 只 |
减7 11只 |
增3 81只 |
增4 12只 |
减7 4 只 |
增3 84只 |
即符合原题的解共有4组。
例2.甲、乙二人在周长为400米的正方形池塘的相邻的两个角上,甲在乙之前,乙按甲走的线路同时出发,甲每分钟走42米,乙每分钟走34米。甲、乙出发后经过多少时间才能走到池塘的同一条边上?
[分析与解]先作示意图如下:
甲在B点,乙在A点,这就是两人初始状态。现在甲、乙二人按箭头所示方向同时运动,经过多长时间才能走到池塘的同一条边上。这是一道追击距离不明确的追击问题。我们不妨从特例出发:甲、乙能走到池塘的同一条边上,正好是一条边的两个端点。这样就有了确定的追击目标。即甲追乙2OO米。根据追击公式得:
2OO梅(42-34)=25(分)。
经过25分甲乙两人是否真走到了池塘的同一条边上呢?只有把甲乙两人放在图中观察,方可知晓。事实上,经过25分甲走的距离是:42脳25=1050(米),乙走的距离是:34脳25=85O(米)。此刻甲的位置是1050梅400=2(周)鈥︹25O(米),甲在AD边的中点;
乙的位置是85O梅400=2(周)鈥︹5O(米),乙在AB的中点。如示意图,我们不难观察发现:
甲只要再走5O米即可使两人在同一条边上。从而要求的问题迎刃而解。即25+5O梅42=26(分)。
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