一年级趣味数学：秦王暗点兵（２）
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，
五树梅花甘一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
"正半月"暗指15."除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
70脳2+21脳3+15脳4=263，
263=2脳105+53，
所以，这队士兵至少有53人。
在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数，而用3除余1；
21是3与7的倍数，而用5除余1；
15是3与5的倍数，而用7除余1.
因而
70脳2是5与7的倍数，用3除余2；
21脳3是3与7的倍数，用5除余3；
15脳4是3与5的倍数，用7除余4.
如果一个数以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b.所以，把70脳2、21脳3与15脳4都加起来所得的结果能同时满足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，
70m+21n+15k （1鈮＜3， 1鈮＜5，1鈮＜7）
能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k "的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。
我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？
为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5脳7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了"三人同行七十稀".
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3脳7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了"五树梅花甘一枝".
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3脳5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了"七子团圆正半月".
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