几何学悖论:病态曲线
M:雪花曲线是另一种奇妙的曲线,但它不是不可能曲线。我们从这圣诞树鈥斺斔男巫词堑缺呷切吴斺斂祭椿馓跚摺
M:这位小天使把这蓝色的等边三角形每边分成三等分,再在每边中间的三分之一部分向外各画一个粉红色的等边三角形,这样就做成了一个六角星。
M:她再在六角星的每边上用同样的方法向外画出桔黄色的更小的等边三角形。曲线变得越来越长,开始象一个雪花了。
M:再重复一次这个过程将使曲线变得更长,更美丽。
M:按照这个方法不断画下去。你愿意曲线有多长,它就可以有多长。虽然它可以画在一张邮票上,但它的长度可以达到从地球到最远恒星的距离!
雪花曲线是最美丽的鈥湶√哜澲唬庑┣咚员怀莆湶√澥且蛭堑墓值灾省U庑┣吖钩梢桓鑫尴藜稀H绻厦嬲飧龌┗ǖ墓涛尴藜绦氯ィ涑ざ冉饔谖尴薮螅词贾帐俏г谝桓鲇邢薜那蚶铩U饩褪撬担徊揭徊交龅拿刻跚叩某ざ裙钩梢桓龇⑸⑹校敲刻跚咚У拿婊垂钩梢桓鍪樟彩小K樟驳降谝桓龅缺呷切蚊婊8/5倍。另外的一个奇怪性质是:在极限曲线上的任一点都不能确定它的切线。
研究雪花曲线是巩固极限概念的一个好方法。可以把下面这个题目做为课堂练习,即假设第一个等边三角形的面积是1,证明极限曲线所围面积是8/5。
我们还建议做下列几种辅助活动:
(1)画出鈥湻囱┗ㄢ澢撸聪蚶锘切危皇窍蛲饣谡馔卑研禄切蔚牡紫卟恋簟U庋谝徊交龅氖腔慵谝坏愕娜隽庑危械阆舐菪暗囊镀0颜飧龉涛尴藜绦氯ィ馐彼乖斐龅募耷咂涑ざ纫彩俏尴薮舐穑克参г谝桓鲇邢薜那蚶锫穑
(2)研究以其它正多边形做基础用类似方法四曲线所产生的结果。
(3)研究在每条边上画多于一个正多边形所产生的结果。
(4)研究上述各种构造方法在三维空间的类似结果。比如说,在一个正四面体的各面上再做一些小正四面体,其极限物体的表面面积是无限的吗?它所包围的空间具有有限体积吗?
下面列举的是一些有用的参考资料:《数学和想象》,343页至356页,爱德华路卡斯纳和詹姆斯路纽曼著;《雪花曲线》,布鲁斯路W路金著,载于《数学教师》杂志,第57卷,1964年4月号,219页鈥222页;《范路科克曲线的推广》,乔尔路E路史尼德尔著,载于《数学杂志》第38卷,1965年5月号,144页鈥147页。
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