巧求面积

　　在我们日常生活及生产实践中，常会遇到求一个平面图形的面积问题．有些简单的图形，比如长方形（包括正方形）、三角形、平行四边形、梯形、圆，这些图形的面积可直接用公式求出，但还存在着许多巧求面积的问题，下面看一些例题．

　　例1 两块等腰直角三角板，如图7—1那样重合，试求重合部分（即阴影部分）的面积（单位：厘米）．

　　分析：已知△abc、△bde是等腰直角三角形，所以∠ebc=45°，∠acb=45°，由此得出∠bfc=180°-45°-45°=90°，所以△bfc是等腰直角三角形，它的面积恰好等于△abc的面积的一半．△abc的面积容易求出，阴影部分的面积用△bfc的面积减去△dcg的面积，由于∠edb=90°，∠acb=45°，所以△gdc是等腰直角三角形，很容易求出△gdc的面积，因此问题得以解决．

　　解：s△abc=ab×bc÷2=10×10÷2=50（平方厘米）

　　s△bfc=s△abc÷2=50÷2=25（平方厘米）

　　s△dgc=4×4÷2=8（平方厘米）

　　∴s阴影部分=s△bfc-s△dgc=25-8=17（平方厘米）

　　答：阴影部分的面积是17平方厘米．

　　例2 边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，如图7—2，它们盖住的面积是多少平方厘米？

　　分析：桌面被盖住的部分是一个不规则的图形，直接求无法求，分割成规则图形再去求比较麻烦．如果将这三个正方形面积求和，必然多算了它们的重叠部分，多算的部分恰好是这三个正方形两两重叠的部分，只需将多算的减去．由于两两重叠部分里有一个边长为2的小正方形减去了3次，显然是多减了2次，需要再加上多减的2次，即可求出被盖住的面积．

　　解：（1）三个正方形的面积之和

　　10×10＋8×8＋4×4=180（平方厘米）

　　（2）两两重叠部分的面积之和

　　5×5＋4×2+4×2=41（平方厘米）

　　（3）三个正方形重叠的部分的面积

　　2×2=4（平方厘米）

　　（4）它们盖住的面积

　　180-41＋2×4=147（平方厘米）

　　答：它们盖住的面积为147平方厘米．

　　例3 图7—3，长方形aecd中，ad=10厘米，cd=12厘米．b在ae的延长线上，bd交ce于f，△cfb的面积为24平方厘米，求△feb的面积等于多少平方厘米？

　　分析：要想求△feb的面积，只需求出eb、ef的长．由已知ad=10厘米，cd=12厘米，可以求出△dcb的面积，因为dc是△dcb的底边，ce是这条底边上的高线，且ce=ad=10厘米，s△dcb=12×10÷2=60平方厘米；又因为s△cfb=24平方厘米；所以s△dcf=s△dcb-s△cfb=60-24=36平方厘米；又由于s△dcb＝dc×cf÷2，这样可以求出cf的长，于是很容易得出ef的长；在△cfb中，底边cf上的高线为eb，由s△cfb=cf×eb÷2=24平方厘米，又可求出eb的长，于是问题也就得到了解决．

　　解：s△bcd=dc×ec÷2=12×10÷2=60（平方厘米）

　　s△dcf=s△dbc-s△cfb=60－24=36（平方厘米）

　　又因为s△dcf=dc×cf÷2

　　所以12×cf÷2=36

　　cf=36×2÷12=6（厘米）

　　ef＝ce—cf＝10—6=4（厘米）

　　又由s△bcf=cf×eb÷2

　　所以6×eb÷2=24

　　eb=24×2÷6=8（厘米）

　　s△efb=ef×eb÷2=4×8÷2=16（平方厘米）

　　答：△efb的面积是16平方厘米．

　　例4 梯形abcd中（如图7—4），△abe的面积等于30平方厘米，ec的长是ae长的2倍，梯形abcd的面积是多少平方厘米？

　　分析：因为ec的长是ae长的2倍，取ec的中点为f，连结bf、df，如图7—5，那么△abe、△ebf、△fbc是等底、等高，所以它们的面积相等．于是可以求出△abc的面积．

　　又因为△abc与△dbc有公共的底边bc，相同的高即梯形的高，所以，它们的面积相等，它们的面积分别减去公共△bec的面积，结果仍应该相等，也就是说，△abe的面积等于△dec的面积，是30平方厘米．

　　又由ec是ae的2倍知，△aed的面积是△dec的面积的一半．至此，很容易求出梯形的面积．

　　解：因为ec=2ae，取ec的中点f，连结bf、df．有

　　s△abc=3s△abe=3×30=90（平方厘米）

　　又因为s△abc=s△dbc

　　所以s△abc-s△ebc=s△dbc-s△ebc

　　即s△abe=s△dec=30（平方厘米）

　　而s△aed=sdec÷2=30÷2=15（平方厘米）

　　所以梯形abcd的面积是

　　90＋15＋30=135（平方厘米）

　　答：梯形abcd的面积为135平方厘米．

　　例5 在△abc中，如图7—6，ab=3ad，ac=3cg， be=ef=fc，且△fcg的面积为1平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？

　　分析：直接求阴影部分的面积不容易求，如果根据已知能求出△abc的面积及三个空白三角形的面积，就可以求出阴影部分的面积．

　　因为be=ef=fc，连结ae、af，△abe、△aef、△afc是等底（be=ef=fc）、等高的三角形，所以它们的面积相等．

　　又因为ac=3cg，在△afc、△gfc中，底边ac=3gc，高相等，所以△afc的面积是△gfc的面积的3倍，由s△fcg=1平方厘米，s△afc=1×3=3平方厘米，容易求出s△abc=3s△afc=3×3=9平方厘米．

　　高相等．于是求出s△adg，这样可以求出阴影部分的面积．

　　解：连结ae、af、dc，如图7—7．

　　因为ac=3cg，在△afc、△gfc中，

　　s△afc=3s△gfc=3×1=3（平方厘米）

　　在△abe、△aef、△afc中，因为be=ef=fc，它们的高相等，所以

　　s△abe=s△aef=s△afc=3（平方厘米）

　　s△abc=3s△afc=3×3=9（平方厘米）

　　所以

　　所以阴影部分的面积为

　　s△abc-s△dbe-s△adg-s△gfc

　　=9-2-2-1=4（平方厘米）

　　答：阴影部分的面积为4平方厘米．

　　在巧求图形的面积时，注意寻找图形中的内在联系，特别是要注意观察图形中是否存在以下几种关系：等底等高，同底等高，等底同高，同底同高；以便合理运用面积公式．

　　在求不规则图形的面积时，可以将图形进行适当的分割，转化成规则图形的面积进行计算．