五年级奥数专题四:定义新运算(2)
例1 已知a※b=(a+b)-(a-b),求9※2的值。
分析与解:这是一道很简单的题,把a=9,b=2代入新运算式,即可算出结果。但是,根据四则运算的法则,我们可以先把新运算鈥湣澔颍偾蠼峁
a※b=(a+b)-(a-b)
=a+b-a+b=2b。
所以,9※2=2脳2=4。
由例1可知,如果定义的新运算是用四则混合运算表示,那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下,不妨先化简表示式。这样,可以既减少运算量,又提高运算的准确度。
例2 定义运算:a⊙b=3a+5ab+kb,
其中a,b为任意两个数,k为常数。比如:2⊙7=3脳2+5脳2脳7+7k。
(1)已知5⊙2=73。问:8⊙5与5⊙8的值相等吗?
(2)当k取什么值时,对于任何不同的数a,b,都有a⊙b=b⊙a,
即新运算鈥湣砚澐辖换宦桑
分析与解:(1)首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3脳5+5脳5脳2+k脳2
=65+2k,
所以由已知 5⊙2=73,得65+2k=73,求得k=(73-65)梅2=4。定义的新运算是:a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3脳8+5脳8脳5+4脳5=244,
5⊙8=3脳5+5脳5脳8+4脳8=247。
因为244鈮247,所以8⊙5鈮5⊙8。
(2)要使a⊙b=b⊙a,由新运算的定义,有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka,
3a+kb-3b-ka=0,
3脳(a-b)-k(a-b)=0,
(3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a,b,要使上式成立,必有3-k=0,即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时,具有交换律,即 a⊙b=b⊙a。
例3 对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为a☆b,即a☆b=[a,b]-(a,b)。
比如,10和14的最小公倍数是70,最大公约数是2,那么10☆14=70-2=68。
(1)求12☆21的值;
(2)已知6☆x=27,求x的值。
分析与解:(1)12☆21=[12,21]-(12,21)=84-3=81;
(2)因为定义的新运算鈥湣钼澝挥兴脑蛟怂惚泶锸剑圆荒苤苯影咽氡泶锸角髕,只能用推理的方法。
因为6☆x=[6,x]-(6,x)=27,而6与x的最大公约数(6,x)只能是1,2,3,6。所以6与x的最小公倍数[6,x]只能是28, 29, 30, 33。这四个数中只有 30是 6的倍数,所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a脳b=[a,b]脳(a,b),
相关文章: | ◇ 五年级奥数专题三:定义新运算(1) | ◇ 孩子被家长逼着奥数 |
◇ 三升四暑期奥数学习指导 | ◇ 专家:全民学“奥数”是灾难性的 |
|
|