体积与表面积的计算问题

　　在正方体、长方体或圆柱体的某个面上或几个面上打一个小孔或打通一个洞，其体积和表面积均发生变化。但变化的实质截然不同，只有物体的体积比原来减少了，而物体表面积的变化则要根据具体情况因题而论，下面特举例说明。

　　例1．如图1所示，在一个大的正方体某个面上打一个小的正方体洞，已知小正方体的棱长是大正方体棱长的，那么余下图形的体积比原来减少了几分之几？表面积比原来增加了几分之几？

　　〔分析与解〕此题没有给出具体的数字，解答时可以将大正方体的棱长看作单位鈥�1鈥潱�小正方体的棱长就是，因此，直接利用分率来列式。

　　（1）体积比原来减少：（脳脳）梅（1脳1脳1）＝

　　（2）表面积比原来增加：（脳脳4）梅(1脳1脳6)＝梅6＝

　　此题还可以设数来解。设大正方体的棱长为6分米，那么小正方体的棱长就是2分米。列式得，

　　（l）体积比原来减少：

　　（2脳2脳2）梅（6脳6脳6）＝脳脳＝脳脳＝

　　（2）表面积比原来增加：（2脳2脳2）梅（6脳6脳6）＝脳脳＝

　　例2．如图2所示，在一个底面边长为lOcm的长方体上下底面上打通一个小的正方体孔洞，表面积比原来增加了18cm2，求余下图形的体积。

　　〔分析与解〕要想求出余下图形的体积，必须知道长方体的高，求高又要从增加的表面积入手。从图中不难想象出18cm2就是中间小正方体两个正方形的

　　面积，于是得：18梅（4－2）＝9cm2，9＝3脳3，即：中间的小正方体的棱长（大长方体的高）是3cm。因此列式为：10脳10脳3－3脳3脳3＝273（cm3）。

　　例3．如图3所示，在一个底面半径为6cm的大圆柱体的上下底面的中心处打通一个半径为4cm的小圆柱体的洞，其表面积没有发生变化，求原来圆柱的体积。

　　〔分析与解〕这题显然还是先求高，由于表面积没有变化，说明中间小圆柱体的侧面积一定等于它两底面积，因此圆柱体的高为：3.14脳42脳2梅（3.14脳4脳2）＝4cm。

　　原来圆柱的体积为： 3.14脳62脳4＝452.16（cm3）