体积与表面积的计算问题
在正方体、长方体或圆柱体的某个面上或几个面上打一个小孔或打通一个洞,其体积和表面积均发生变化。但变化的实质截然不同,只有物体的体积比原来减少了,而物体表面积的变化则要根据具体情况因题而论,下面特举例说明。
例1.如图1所示,在一个大的正方体某个面上打一个小的正方体洞,已知小正方体的棱长是大正方体棱长的,那么余下图形的体积比原来减少了几分之几?表面积比原来增加了几分之几?
〔分析与解〕此题没有给出具体的数字,解答时可以将大正方体的棱长看作单位鈥1鈥潱≌教宓睦獬ぞ褪牵虼耍苯永梅致世戳惺健
(1)体积比原来减少:(脳脳)梅(1脳1脳1)=
(2)表面积比原来增加:(脳脳4)梅(1脳1脳6)=梅6=
此题还可以设数来解。设大正方体的棱长为6分米,那么小正方体的棱长就是2分米。列式得,
(l)体积比原来减少:
(2脳2脳2)梅(6脳6脳6)=脳脳=脳脳=
(2)表面积比原来增加:(2脳2脳2)梅(6脳6脳6)=脳脳=
例2.如图2所示,在一个底面边长为lOcm的长方体上下底面上打通一个小的正方体孔洞,表面积比原来增加了18cm2,求余下图形的体积。
〔分析与解〕要想求出余下图形的体积,必须知道长方体的高,求高又要从增加的表面积入手。从图中不难想象出18cm2就是中间小正方体两个正方形的
面积,于是得:18梅(4-2)=9cm2,9=3脳3,即:中间的小正方体的棱长(大长方体的高)是3cm。因此列式为:10脳10脳3-3脳3脳3=273(cm3)。
例3.如图3所示,在一个底面半径为6cm的大圆柱体的上下底面的中心处打通一个半径为4cm的小圆柱体的洞,其表面积没有发生变化,求原来圆柱的体积。
〔分析与解〕这题显然还是先求高,由于表面积没有变化,说明中间小圆柱体的侧面积一定等于它两底面积,因此圆柱体的高为:3.14脳42脳2梅(3.14脳4脳2)=4cm。
原来圆柱的体积为: 3.14脳62脳4=452.16(cm3)
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