北师大版数学五年级上《鸡兔同笼》教学实录
一、创设情境、揭示课题
师：有个问题，它历史悠久，至今已经有了1500多年了；它流传广泛，世界上许多国家的大人孩子都研究过它；它出自我国古代的数学名著《孙子算经》；这个问题就是-----
生：鸡兔同笼。
师：同学们，你们都见过鸡和兔对吗？谁用数学语言说说鸡和兔的区别？
生：一只鸡有 2 条腿，一只兔子有4 腿。
师：笼子里有2只鸡，3只兔，你能知道一共有几条腿吗? 谁来说说你是怎么算的？
生：用鸡的只数乘2，表示鸡的总腿数；兔子的只数乘4 表示兔子的总腿数；最后在相加就是总腿数。
师：板书：鸡的只数*2+兔的只数*4=总腿数
师：今天这节课我们就来研究中国历史上著名的数学趣题鈥溂ν猛��
二、主动探究、合作交流、学习新知
1.理解题意
出示例一
鸡兔同笼，有9个头，26条腿，问鸡、兔各有几只？
师：请大家齐读题目，你们从题目中都获得了哪些数学信息？
生1：有9个头，26条腿。
生2：鸡和兔一共有9只。
师：题目里还有其他数学信息吗？（学生沉思）
师：同学们对鸡和兔了解吗？（生顿悟，纷纷举手）
生：鸡有2只脚，兔子有4只脚。
师：你的反应可真快！不仅会观察，还很会思考。
2.尝试猜测
师：有了大胆的猜想才可能有伟大的发现，鸡和兔各有几只呢？我们不妨猜猜看。（板书：猜测。）
师：怎么猜？（学生沉思）能瞎猜吗？
生：能。
师：好，我先来猜一个。鸡5只，兔子10只。
生：不行，鸡和兔子的总只数应该是9只。
师：哦，你看老师的理解对不对，如果鸡有１只，兔子就有8只。
教师板书
| 头/个 | 鸡/只 | 兔/只 |
| 9 | 1 | 8 |
生：要算算鸡和兔子一共有多少条腿。看是不是26条腿。
师：会算吗？
生：鸡的只数乘2加上兔的只数乘4，看看结果是多少。也就是1脳2+8脳4=34(师根据学生回答板书：1脳2+8脳4=34）
师：猜对了吗？
生：没有。
师：在数学上我们把这一过程称作验证。（板书：验证）
师：没猜对，接下来怎么办？
生：继续猜。
师：怎么继续猜？
刚才的猜测对接下来的猜测会有帮助吗？
生：有帮助，腿数太多了，再猜的话鸡的只数要增加，兔的只数要减少。
（教师在１的后面标出向上的箭头，8的后面标出向下的箭头。）
师：为什么？
生：因为鸡的腿数少，兔的腿数多，腿的总数太多就要减少兔的只数。
师：也就是要调整数据。（板书：调整）
师：一般来说，尝试一次就成功不太可能。你准备先试什么，再试什么，有一个初步的考虑后，拿出课前发的表格，把尝试的过程写在表里。
（学生独立尝试，教师巡视。约3鈥�4分钟后，小组交流。教师深入2鈥�3个小组倾听，偶尔提问。）
3．汇报交流。
师：小组讨论非常热烈！哪个小组愿意把你们组都认可、欣赏的方法推荐给大家？简单说出推荐理由。
组1：（呈现如下表格）
| 鸡（只数） | 兔（只数） | 腿（条数） |
| 1 | 8 | 34 |
| 2 | 7 | 32 |
| 3 | 6 | 30 |
| 4 | 5 | 28 |
| 5 | 4 | 26 |
| 6 | 3 | 24 |
组1生1：我们推荐这种方法，是因为它很简单，适合我们全体同学。
组1生2 ：在表格里，大家能很清楚地看到数据是怎么变的：每一次鸡增加一只，兔子减少一只，腿的总数就少2。这样就能很快找到答案。这就是我们的推荐理由。谢谢大家！
（全班学生给予掌声表示欣赏赞同。台上学生欲拿回作品回座位。）
师：别着急，同学们还有问题想问你们呢！
生1：后来你们再试的时候，为什么你们只试鸡的只数增加的情况却不试鸡的只数减少的情况呢？
生：我们是从1只鸡8只兔，（也就是）从头开始试的，鸡最少有1只，当然只能慢慢增加不能减少了！
生2：我还有个问题，既然你们看出1只鸡、8只兔有34条腿，腿数远远大于26，为什么你们还要一点点地增加，不一下子把鸡的只数多增加一些呢？这样不变更简便了？
师：程老师发现你的水平很高，已经在很巧妙地介绍另外的方法了。一会儿我们再来听你说，好吗？
师：我们一起再来看这张表。他们成功地找到了结果了，那他们的尝试有什么特点？
生1：他们是按每次增加一只鸡，减少一只兔这么个办法来试的。
生2：我发现他们的尝试特别有顺序。
师：是的，他们把鸡、兔共9个头的情况有序地列举出来，（板书：有序列举）这么有序地一一列举，有什么好处？
生：这样就不会漏掉哪种情况，而且不会有重复。
师：是啊，地毯式大搜索会特别保险，保证不会有鈥溌┩汊�潯�
生：有序地列举，还容易发现规律。
师：哦，还有这个好处：能发现规律？同学们发现了什么规律？
生：我发现鸡增一只，兔子减少一只，腿就减少两条。
（学生点头认可。）
师：发现这个规律有什么用？
生1：发现这个规律，我们就不用死算了，就可以根据这个规律去找。每次腿减少条就行了。
实物投影组2表格
| 鸡（只数） | 兔（只数） | 腿（条数） |
| 4 | 5 | 28 |
| 5 | 4 | 26 |
组2生2：我们认为这种方法比较简便。
组2生3 ：我们不像他们组那么麻烦，度了那么多次。
师：等一下，你们这个方法确实很简单，我们从表里能看到，只试了2次就找到结果了。凭什么这么简单？如果简单是因为碰巧运气好，那我们也没法学，简单的背后原因到底是什么？
（许多学生跃跃欲试）
师：你们的知音还真不少！看看他们能不能说出你们的心里话？
生1：从鸡和兔各占一半开始试，试完之后就能看出到底是哪种动物多了。
生2：从鸡、兔各一半开始试，就是36条腿，离正确答案更接近。
生3：先假设鸡和兔各占一半，如果算出腿的条数比26条多，那就增加鸡减少兔，如果算出的腿数比26条少，那就反过来。这样就能更快地找到答案。
生4：从中间开始试，就可以尝试的范围缩小两倍。
生5：我同意你的观点，但给你纠正个说法：尝试的范围缩小了一半，不是两倍。
师：同学们对鸡兔同笼问题理解的越来越透彻了，看来这样直接从中间数列举也可以找到正确答案。这种方法也是列表中常用的一种方法，我们称之为：取中列举
师：我记得刚才有个同学还有个好方法要介绍，是吗？请鈥斺��
实物展示组3
生：我是从1只鸡11只兔开始试的，但我是跳着试的，所以也很快找到了结果。
| 鸡（只数） | 兔（只数） | 腿（条数） |
| 1 | 8 | 34 |
| 3 | 6 | 30 |
| 5 | 4 | 26 |
生：我是看到腿多的比较多，估计鸡要增加不少，所以说我跳着试是有根据的！
师：我喜欢这样有根据的跳跃！
生：（激动地）我给她补充：就算发现跳过了，也没关系！再回头试，那样就不用再把鸡的（只数），往大里试了，范围也缩小了很多！
（老师点头赞许。）
师：大家的方法各不相同。但这些不同的方法中，却有着相同的地方！
生：都是对问题、对尝试的结果进行分析，然后再作调整的。
师：真善于总结！
出示例二
师：原题是：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
请大家结合刚才我们所发现的规律和猜测的方法，应用列表法小组合作完成，看那组能能列举的更简单，更快捷吗？
学生汇报 1：跳跃列表法
2：取中列表法
师：再次对几种列表法进行比较，说明他们之间有一定的区别和联系的。
师：同学们还真善于思考和总结，的确，在解决问题时，我们需要根据实际情况来选择合适的方法。
三、类比建构、解释应用
1．类比建构
（1）龟鹤问题
师：其实鈥溂ν猛�澪侍猓还庠勖侵泄嗽谘芯浚谌毡疽灿欣嗨频难芯浚毡救顺扑�湽旰孜侍忖�潱胪抢纯矗ㄍ队俺鍪竟旰孜侍馔计�
师：想想看，鈥湽旰孜侍忖�澯脞�溂ν猛�澪侍庥辛德穑�
生：（思考片刻后）有，鹤和鸡一样有两条腿，龟与兔一样有四条腿。
师：看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅代表兔，可能是龟鹤问题，也可能是？
生1：马鹤问题。
生2：鸡猫问题。
生3：人猪问题。 鈥炩��
师：不一会儿，我们就把动物园转了一遍。生活中有鈥溂ν猛�澋奈侍饴稹�
（2）民谣中的数学问题
投影出示：一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十四，数脚共有四十六。
师：这还是鸡兔同笼问题吗？
生：是，猎人相当于鸡，狗相当于兔子。
（3）储蓄问题： 课件出示：小明的存钱罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值5.1元，1角和5角的硬币各多少枚？
师：你认为这还是鸡兔同笼问题吗？（有人说是，有人说不是）认为这个问题鈥準氢�澕ν猛侍獾耐刖偈郑ㄔ加腥种唬�
师：这样吧，既然有了不同意见，那我们就来个小辩论，看看谁能说服对方。认为是的为正方，认为不是的为反方。请双方各推荐一位代表，其他同学可以补充。
反方代表：刚才的鸡兔同笼问题都是两条腿和四条腿的，这个问题中没有2和4的条件。正方代表：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的一角硬币就相当于有一只脚的鈥湽旨︹�潱褰堑挠脖揖拖嗟庇谟形逯唤诺拟�湽滞免�潱�
正方同学：（正方一学生迫不及待）还有，题目中的27枚就相当于鈥湽旨︹�潯⑩�湽滞免�澒灿�27只，5.1元也就是51角，相当于鈥湽旨︹�潯⑩�湽滞免�澋慕殴灿�51只。（这时有不少反方学生若有所悟，纷纷点头） 师：现在你们的意见呢？
生：是（鸡兔同笼问题）！ 师：同学们真善于奇思妙想，竟能把鸡鈥溦赦�澏劳燃Γ淹米痈�溦赦�澚宋逋韧谩？蠢次颐堑募ν猛侍獠唤霭�4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔。鈥溂︹�澆唤隹梢允沽街唤诺拟�溂︹�潱词乖俪鱿�3只脚的鈥溂︹�潱颐且膊换峋醯闷婀至耍�
看来鸡兔同笼不仅仅可以解决鈥溂ν免�澩奈侍猓怀晌诠旰拖珊祝怀扇撕凸罚匀皇羌ν猛侍猓�溂ν免�澩涫抵皇钦饫辔侍庖桓瞿Ｐ停�
四、分析应用，提高升华
师：通过刚才的学习，同学们对尝试这一方法一定有了新认识，带着这些认识，我们再来看另外一个问题
1．在我们生活中有许多的鸡兔同笼问题，那么它与鸡兔同笼问题有什么联系？
出示课本第100页的练习题
2．请选择自己喜欢的列表方法在表四中来列表完成.
五、回顾总结。
师：对尝试这一方法，现在你怎么看？
生1：我认为，并不是任何问题都有现成的方法能解决，许多时候需要我们去尝试。
师：同意！面对新问题尝试法更有用武之地。
生2：学数学，只有不停地去尝试，你才能取得成功！生活中也是这样！
生3：遇上一个问题，无从下手的时候，不见得非要想一个高明的方法，用这种有点原始的尝试法，一点点地去试，也能找到答案！
生4：以前我觉得鈥溂ν猛�澱飧鑫侍夂苣眩眉偕璺ú街韬芏啵依弦簟５贸⑹苑ǎ揖醯镁秃芗虻ィ�
生5：尝试不是傻试，也要动脑子分析，思考得越多，排除的就越多！
师：是啊，尝试的学问还真不少！（对着板书）从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有鈥溎Ｐ外�澋囊馐叮僖环慈艽ダ嗯酝ǎ敲茨惚亟嶙呦蚴а暗淖杂赏豕�
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