小学四年级奥数专题(二十五)智取火柴(2)
分析与解:对照例1、例2可以看出,本例是取火柴游戏的变形。因为50÷(1+5)=8……2,所以要想获胜,应选择先报,第一次报2个数,剩下48个数是(1+5=)6的倍数,以后总把6的倍数个数留给对方,必胜。
例51111个空格排成一行,最左端空格中放有一枚棋子,甲先乙后轮流向右移动棋子,每次移动1~7格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜,第一步必须向右移多少格?
分析与解:本例是例3的变形,但应注意,一开始棋子已占一格,棋子的右面只有1111-1=1110(个)空格。由例3知,只要甲始终留给乙(1+7=)8的倍数加1格,就可获胜。
(111-1)÷(1+7)=138……6,
所以甲第一步必须移5格,还剩下1105格,1105是8的倍数加1。以后无论乙移几格,甲下次移的格数与乙移的格数之和是8,甲就必胜。因为甲移完后,给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。
例6今有两堆火柴,一堆35根,另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问:先取者有何策略能获胜?
分析与解:本题虽然也是取火柴问题,但由于火柴的堆数多于一堆,故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。
先取者在35根一堆火柴中取11根火柴,使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴,你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取,你也有火柴可取,也就是说,最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。
请同学们想一想,如果在上面玩法中,两堆火柴数目一开始就相同,例如两堆都是35根火柴,那么先取者还能获胜吗?
例7有3堆火柴,分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴,取的根数不限,规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法,那么谁将获胜?
分析与解:根据例6的解法,谁在某次取过火柴之后,恰好留下两堆数目相等的火柴,谁就能取胜。
甲先取,共有六种取法:从第1堆里取1根,从第2堆里取1根或2根;第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法,乙采取正确的取法,都可以留下两堆数目相等的火柴(同学们不妨自己试试),所以乙采用最佳方法一定获胜。
练习25
1.桌上有30根火柴,两人轮流从中拿取,规定每人每次可取1~3根,且取最后一根者为赢。问:先取者如何拿才能保证获胜?
2.有1999个球,甲、乙两人轮流取球,每人每次至少取一个,最多取5个,取到最后一个球的人为输。如果甲先取,那么谁将获胜?
3.甲、乙二人轮流报数,甲先乙后,每次每人报1~4个数,谁报到第888个数谁胜。谁将获胜?怎样获胜?
4.有两堆枚数相等的棋子,甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取,取的枚数不限,但不能不取,谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取,那么他一定能获胜吗?
5.黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,…,51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了,谁就算取胜。问:甲有必胜的策略吗?
6.有三行棋子,分别有1,2,4枚棋子,两人轮流取,每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子,谁取走最后一枚棋子谁胜。问:要想获胜是先取还是后取?