和与差的整除性
2+4=6,4+6=10,6+8=14,
2+6=8,4+8=12,6+10=16,
2+8=10,4+10=14,鈥︹︹︹
2+10=12,鈥︹︹︹
鈥︹︹︹
2+4+6=12,
2+4+6+8=20,
2+4+6+8+10=30,
鈥︹︹︹
4-2=2,6-4=2,8-6=2,
6-2=4,8-4=4,10-6=4,
8-2=6,10-4=6,鈥︹︹︹
10-2=8,
鈥︹︹︹
我们发现,它们之间的和或差也都能被2整除.因此,我们有理由猜想:能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.
我们还知道,3、6、9、12、15、鈥︹Χ际悄鼙3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算:
3+6=9,6+9=15,9+12=21,
3+9=12,6+12=18,9+15=24,
3+12=15,6+15=21,鈥︹︹
3+15=18,鈥︹︹︹
鈥︹︹
3+6+9=18,
3+6+9+12=30,
3+6+9+12+18=48,
鈥︹︹
6-3=3,9-6=3,12-9=3,
9-3=6,12-6=6,15-9=6,
12-3=9,15-6=9,鈥︹︹
15-3=12,鈥︹︹
鈥︹︹
这些运算的结果也都能被3整除.因此,我们又有理由猜想:能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.
有了前面的两点猜想,我们似乎可以作更大胆的猜想:如果有一些数能被某个数整除,那么,这些数之间的和或差也一定能被某个数整除.
令人不放心的是,关于这个猜想,我们还仅只是考察了鈥溎呈澥2和3的部分情形.是不是对所有的情形都正确呢?解决这个问题的办法有两个:一是再接着逐个去验证考察。但这是一件永远也办不完的麻烦事情!另一个办法是用符号(这个发明用符号来表达数学关系的前辈确实是一个伟大的天才!)表示出鈥湶孪脞澲械氖Ч叵担缓螅ハ敕缴璺ㄋ登逅返牡览.亲爱的读者,你能完成这项工作吗?
【规律】
如果有整数A、B、C、鈥︹Χ寄鼙徽齧整除,那么,就有A卤B卤C卤鈥︹
的结果也能被m整除.
事实上,整数A、B、C、鈥︹Χ寄鼙徽齧整除,那么,这些整数就可以分别写成m的倍数形式:
A=a路m,B=b路m,C=c路m,鈥︹
(其中a、b、c仍为整数).这样
A卤B卤C卤鈥︹
=a路m卤b路m卤c路m卤鈥︹
=(a卤b卤c卤鈥︹Γ┞穖.
显然,后面的结果是m的倍数,能被m整除.这就说明了原式
A卤B卤C卤鈥︹
也能被m整除.猜想是正确的.
【练习】
运用上面的规律你能判断出下面哪些算式的得数能被2、3或5整除.
(1)123456789脳1991+987654321;
(2)987654321脳1992-123456789;
(3)2+4+6+鈥︹+1998+2000;
(4)5000-4998+4996-4994+鈥︹+4-2;
(5)1脳2+3脳4+5脳6+鈥︹+99脳100;
(6)1脳2脳3+4脳5脳6+7脳8脳9+鈥︹+97脳98脳99;
(7)1脳2脳3脳4脳5+6脳7脳8脳9脳10+11脳12脳13脳14脳15+鈥︹+96脳97脳98脳99脳100;
(8)19921+19922+19923+鈥︹+19922000.
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