小学三年级奥数专题(十八)能被2,5整除的数的特征(2)
1×3×5×7×9×11×13×14×15。
解:根据奇偶数的运算性质:
(1)因为524,42是偶数,所以(524+42)是偶数。又因为429是奇数,所以(524+42-429)是奇数。
(2)数(42□+30-147)能被2整除,则它一定是偶数。因为147是奇数,所以数(42□+30)必是奇数。又因为其中的30是偶数,所以,数42□必为奇数。于是,□里只能填奇数1,3,5,7,9。
(3)1,3,5,7,9,11,13,15都是奇数,由1×3为奇数,推知1×3×5为奇数……推知
1×3×5×7×9×11×13×15
为奇数。因为14为偶数,所以
(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数,即
1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。
由例2得出:
(1)在全部是加、减法的运算中,若参加运算的奇数的个数是偶数,则结果是偶数;若参加运算的奇数的个数是奇数,则结果是奇数。
(2)在连乘运算中,只要有一个因数是偶数,则整个乘积一定是偶数。
例3在黑板上先写出三个自然数3,然后任意擦去其中的一个,换成所剩两个数的和。照这样进行100次后,黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何?它们的乘积是奇数还是偶数?为什么?
解:根据奇偶数的运算性质知:
第一次擦后,改写得到的三个数是6,3,3,是“二奇一偶”;
第二次擦后,改写得到的三个数是6,3,3或6,9,3或6,3,9,都是“二奇一偶”。
以后若擦去的是偶数,则改写得到的数为二奇数之和,是偶数;若擦去的是奇数,则改写得到的数为一奇一偶之和,是奇数。总之,黑板上仍保持“二奇一偶”。
所以,无论进行多少次擦去与改写,黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积
奇数×奇数×偶数=偶数。
故进行100次后,所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数,它们的乘积一定是偶数。
2.能被5整除的数的特征
由0×5=0,2×5=10,4×5=20,6×5=30,8×5= 40,…可以推想任何一个偶数乘以5,所得乘积的个位数都是0。
由1×5=5,3×5=15,5×5=25,7×5=35,9×5= 45,…可以推想,任何一个奇数乘以5,所得乘积的个位数都是5。
因此,能被5整除的数的个位数一定是0或5。也就是说,凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除;凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。例如,870,6275,1234567890等都能被5整除,264,3588等都不能被5整除。