北师大教材小学数学五年级上册《鸡兔同笼》教学设计

　　吉林省辽源市龙山区龙山实验小学 张皎

　　教学内容：数学北师大版五年级上册第五单元尝试与猜测第一课时《鸡兔同笼》教材80~81页

　　教学目标：1、了解鸡兔同笼问题，掌握用尝试法、假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。

　　2、通过自主探究、合作交流，让学生经历用不同的方法（列表举例、作图分析）解决“鸡兔同笼”问题的过程，明确数量关系。

　　教学重点：明确鸡兔同笼问题数量关系。

　　教学难点：初步形成解决此类问题的一般性。

　　教学过程

　　一、历史激趣，导入新课（3分）

　　导语：老师早就听说我们 班的同学最喜欢看书，最善于思考，今天老师给同学们带来了一部一千五百年前的数学名著《孙子算经》（课件出示古书动画打开书出现原题），在这里记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题请看：今有雉兔同笼，上有三十五头下有九十四足，问雉兔各几何？

　　这句话中，你们有不明白的词语吗？（电脑出示：题目中的“雉” （读成“zhì” ），就是野鸡。）谁来说一说，这道题目是什么意思？谁能用现代文翻译一下:(这道题目是说，现在有一些野鸡和兔子，关在同一只笼子里，从上面看，共有35个头；从下面看，共有94只脚。问有多少只野鸡、多少只兔子。)

　　师：古代人对这样的题目有着自己独道的见解，我们把类似于这样的问题，统称为：“鸡兔同笼”。今天，我们就来研究中国历史上著名的数学趣题 “鸡兔同笼问题”。（板书课题：鸡兔同笼）

　　2、我们先从简单一些的问题入手，来探讨解决这类问题的方法。

　　【设计意图：这一引入，给数学课堂带来了浓厚的文化气息，让我们的学生感受到我国数学文化的源远流长，激发了学生的学习热情。】

　　二、合作探究，构建新知（15分）

　　1、请同学们看一幅鸡兔同笼的情景图（课件出示）你能猜出这笼子里有几只鸡和几只兔吗？

　　请看题目，鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？你从中发现了哪些数学信息？这道题里还有隐藏的数学信息吗？

　　2、先猜一猜，可能只有一种动物吗，为什么？

　　学生猜测，汇报。不可能都是鸡，因为如果都是鸡就会有40条腿，而题目中是54条腿。也不可能都是兔，因为如果都是兔就会有80条腿。

　　3、独立思考：

　　（1）你想怎样解决这个问题？生举手，师：不着急说，先自己想一想！学生静想10秒。

　　鸡兔可能各有多少只？你想怎样解决这个问题呢？

　　找几名同学说一说解决的办法。

　　同学们可以借助表格清晰明了的呈现出你的解题方法，如果有其他解题方法，请写在答题纸上。

　　【设计意图：尊重教材；不束缚限制任何学生的思维，养成专注倾听的习惯拓宽学生思路，留给学生独立思考的空间，倡导用多种方法解决问题。】

　　4、学生独立完成，教师巡视。

　　5、学生汇报：

　　1）、（假如有采用逐一列表法的）请一个采用逐一列表法解决的同学汇报，汇报讲出理由（你是如何确定第一组数据的，验证后发现了什么问题，怎样进行调整的也就是调整的方法），并且说一说调整过程中有什么发现？（因为鸡和兔的只数是固定的，每增加一只兔子减少一只鸡，腿的总只数就增加2。）

　　还有哪些同学与他的方法相同或类似？补充说明理由和发现的规律。（贴出表格）

　　你们认为这种方法有什么特点？请这些同学为他们的方法命名。(板书：逐一列表法）

　　2)、哪个同学与他们的列表方法不同？（汇报，说出是如何确定第一组数据的，验证后发现了什么问题，你的调整策略，在调整过程中有什么发现？当计算验证腿数多时说明什么？应该怎样调整？相反呢？）

　　还有那些同学与他的方法相同或类似（你是怎样想到这种方法的），补充调整方法和策略以及自己的发现。（贴出表格）

　　请同学们为自己的方法命名。问：你们觉得这种方法怎么样？（简便、快捷） (板书：跳跃列表法）

　　3)、哪个同学还有不同的列表方法呢？你是怎样想到这种列表法的（说出理由）

　　还有那些同学与他的方法相同或类似，你们认为这种方法有什么优势？请同学们命名。（贴出表格）

　　（ 板书：取中列表法.）

　　4）、回顾一下我们的解题思路和方法。(相机板书：猜测、验证、调整）

　　师：用列表法解决问题，要想做到又快又准确，你们认为应该要注意些什么 问题？

　　5）、同学们还有其他的方法解决这道题吗？

　　直观画图法：谁听懂他的方法了？能再说说吗？你觉得这样做怎么样？ （画图的方法非常便于观察、非常容易理解。）

　　还有什么方法吗？

　　6）算术法启发学生思考；展示学生的个性解法并以学生的名字来命名。……

　　初步小结：同学们，刚才我们用很多方法解决了同一个问题，你觉得这些方法的核心思想是什么？（假设。所以鸡兔同笼问题又叫假设问题。）

　　【设计意图：在问题情境中探究解决问题的方法，给学生足够的空间经历数学知识的形成过程，体验猜测—验证—调整—再验证—再调整的过程，从而得到解决鸡兔同笼问题的一般策略。】

　　三、历史激趣、巩固新知 （9分）

　　同学们，你们知道古人是如何解答鸡兔同笼问题的吗？刚才的题目（出示）：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？ 书中给出了一种巧妙的解法，今译为：

　　94÷2-35=12（头） …… 兔的头数

　　35-12=23（头） …… 鸡的头数

　　这就是最早的鸡兔同笼问题。

　　看了这段资料，你有什么想法，你有什么想说的吗？

　　（为我们的祖先感到骄傲，其实老师也为你们感到骄傲，）你们在这么短的时间内就想出了这么多解决问题的办法，你们很了不起！ 。

　　过渡语：同学们有信心运用自己喜欢的列表方法解决1500多年前《孙 子 算经》中的原题吗？出示：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

　　学生汇报：

　　你采用的是那种列表方法?

　　为什么要选用这种列表方法？

　　谁有不同的列表方法？同学们有什么新发现

　　(学生汇报后，教师追问：就这道题而言，你认为哪种方法解决最好？)日本人说的【设计意图：史书解题方法意在进行爱国主义教育，激励学生；解决原题巩固一道基本题型，进行解决问题方法的优化，对于数目较大的题目采用取中或跳跃列举法更为合适。】

　　四、分析应用，提高升华（5分）

　　过渡语：后来鸡兔同笼问题由我国传到了日本变成了龟鹤问题，日本人说的龟鹤和我们说的鸡兔有联系吗？抓住数学的本质，这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅代表兔，那还可能是什么问题呢?到我们的实际生活中去看一看，请看题；

　　【设计意图：学数学用数学，引领学生抓住数学的本质，学习鸡兔同笼问题并非单纯解决鸡兔同笼问题，分析两道生活中的鸡兔同笼问题，目的在于进一步明确类似鸡兔同笼问题的数量关系，为解决问题垫定基础。】

　　1、在我们购物消费中的鸡兔同笼问题，那么它与鸡兔同笼问题有什么联系： 小明买了6角和8角的两种铅笔共7支花了5元钱，分别买了多少支？

　　（生：6角相当于鸡的两条腿，8角相当于兔的四条腿，7支相当于鸡兔的总头数，5元相当于推的总条数；）

　　2、在活动安排中的鸡兔同笼问题，那么它与鸡兔同笼问题有什么联系：

　　迎奥运讲文明树新风开展有益的课余活动，学校准备开展一次象棋和跳棋的比赛，象棋和跳棋学校共有31副，恰好可让150个学生同时进行棋类比赛，象棋2人一副、跳棋6人一副，象棋和跳棋各有多少副？

　　（生：31副相当于鸡兔的总头数；150人相当于鸡兔的总推数；2人一副相当于鸡的两条腿；6人一副相当于兔的四条腿。）

　　实践应用，解决问题

　　3、运输中的鸡兔同笼问题（5分）

　　地震后要用大小卡车往灾区运29吨食品，大卡车每辆每次运5吨，小卡车每辆每次运3吨，大小卡车各用几辆能一次运完？它与鸡兔同笼问题有什么联系？不同之处呢？（没有限定大小卡车的总辆数）那可能会出现什么情况呢？请同学们估计一下用车总量数的范围：最多多少辆？最少多少辆？

　　尝试运用你喜欢的方法独立完成此题

　　学生汇报：

　　你采用的是那种列表方法?

　　为什么要选用这种列表方法？

　　谁有不同的列表方法？

　　1）、(如分别出现两种不同的正确答案）同学们有什么新发现？那么用什么方法能使所有的正确答案都不遗漏呢？师生集体尝试逐一列表的方法。

　　就这道题而言，你认为哪种方法解决最好？

　　或

　　2)、（如出现一名同学有两个正确答案和分别一个正确答案）你认为谁的方法更好？

　　过渡语：老师相信同学们一定会耐心细致的做每一件事请。

　　【设计意图：此练习题的出示目的是使学生发现问题，解决问题，并且明确逐一列举法的有势好处。】

　　五、生活拓展、谈谈收获（3分）

　　生活中随处可见鸡兔同笼问题，愿意告诉老师这节课你的学习收获吗？

　　作业：创编一道生活中的鸡兔同笼问题。（要求：在小组里交流一下创编得体是否正确合理，同桌交换解决。）

　　【设计意图：希望同学们留意生活中的数学问题，体会数学的价值。】

　　结束语：数学无处不在，我相信同学们只要敢于猜测尝试、并且不断的实践验证、调整创新，任何问题都能迎刃而解。

　　板书设计:

　　鸡兔同笼

　　猜测 验证 调整

　　逐一列举法 跳跃列举法 取中列举法

　　直观画图法 假设算术法 假设方程法

　　重新修改的教案：

　　教学过程

　　一、历史激趣，导入新课（3分）

　　导语：老师听说我们某某班的同学非常喜欢读书，今天老师给同学们带来一部1500年前的数学名著《孙子算经》（课件出示古书动画打开书出现原题），里面记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题请看：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（师读,课件中标注出题目中的“雉”：（读成“zhì”）野鸡；几何：多少。）谁知道，这是一个什么问题？（鸡兔同笼问题,课件出示鸡兔同笼情境图）这节课我们就来研究中国历史上著名的数学趣题 “鸡兔同笼”。（板书：鸡兔同笼）

　　【设计意图：这一引入，给数学课堂带来了浓厚的文化气息，让我们的学生感受到我国数学文化的源远流长，激发了学生的学习热情；同时初步了解学生的已有知识水平。】

　　1、分析题意：这道题目是什么意思？(这道题目是说，现在有一些野鸡和兔子，关在同一只笼子里，从上面看，共有35个头；从下面看，共有94条腿。问有多少只野鸡、多少只兔子？)

　　2出示例题:贴出例题及插图：鸡兔同笼，上面看有35个头，下面看有94条腿，鸡兔各有多少只？（请一名同学读题） 你从中发现了哪些数学信息？这道题里还有隐藏的数学信息吗？ 同学们先来猜一猜鸡、兔可能各有多少只？（找一两个同学猜测）

　　过渡：看来这么大的数据，同学们尝试猜测有一定的难度，那我们把它化难为易，从简单入手找出规律，再来尝试猜测解决这个问题。

　　【设计意图：】

　　二、化难为易，寻找规律（15分）

　　（1）如果 鸡兔共6只，共有22条腿，尝试猜测一下鸡、兔各 有多少只？

　　（2）鸡兔共6只不变，腿数变为20条腿，鸡兔各几只?你是怎猜测出来的?

　　（3）鸡兔共6只不变，鸡兔的只数还有其它情况吗？腿数呢

　　（4） 请同学们借助表格1，整理一下我们的解题过程；

　　头数 鸡（只） 兔（只） 腿数

　　6 1 5 22

　　6 2 4 20

　　6

　　6

　　6

　　（4）（拿其中一名同学的表格在展示台展示）请同学们观察分析这些数据，看看有什么规律？（设想生答：1、满足鸡兔共五只的条件；2、鸡的只数在逐一增多；3、兔的只数在逐一减少；腿的条数也在减少；4、鸡增加一只兔减少一只，腿数减少两条）根据情况追问：腿的条数是怎样减少的？谁的只数变化使腿数减少？反过来观察你有什么发现吗?

　　教师小结：由于鸡兔的只数是固定的，每减少一只兔就要增加一只鸡，腿的总数就减少两条；

　　过渡:刚才我们运用列表的方法解决了简单的鸡兔同笼问题，并且在表格中发现了规律，那么你们能不能运用列表的方法以及刚才发现的规律来解决《孙子算经》中的鸡兔同笼问题？板书：列表法

　　【设计意图：化难为易发现规律，知识迁移，拓宽学生思路，留给学生独立思考的空间，在解决问题的过程中发现规律，生成构建新知。】

　　三、汇报交流 构建新知

　　（ 1）、学生独立完成，教师巡视。

　　（选出:1逐一列表法2腿数少小幅度跳跃3腿数多大幅度跳跃4跳跃逐一相结合5取中列表）

　　（2）、学生汇报：

　　谁愿意来汇报你尝试猜测的过程

　　1）、（假如有采用逐一列表法的）请一个采用逐一列表法解决的同学汇报，汇报讲出理由（腿数多或少说明什么？怎样进行调整的也就是调整的方法）（生：因为鸡和兔的只数是固定的，每增加一只兔子减少一只鸡，腿的总只数就增加2条。）

　　还有哪些同学与他的方法相同或类似？补充说明理由和发现的规律。

　　你们认为这种方法有什么特点？(板书：逐一）

　　小结：逐一列表法虽然比较麻烦，但是不重复不遗漏；

　　2)、请小幅度跳跃列表的同学汇报；（汇报，说出是如何确定第一组数据的？计算验证后发现了什么问题？如何调整的?谁还有不同的调整策略？）

　　问：你们觉得这种方法怎么样？（简便、快捷）

　　3）、请大幅度跳跃列表同学汇报(你是怎样想到把鸡或兔的只数从 只一下调整到 只的)

　　4）、请大或小幅度调整与逐一相结合的汇报（重点追问:你每一步是怎样进行调整的？根据什么进行调整的？）

　　小结：列表过程中根据需要我们可以有规律的小幅度跳跃，也可以根据自己的发现大幅度的跳跃；（板书跳跃）

　　5)、请选用取中列举法的同学汇报？追问:你是怎样想到这种列表法的（说出理由）

　　还有那些同学与他的方法相同或类似，你们认为这种方法有什么优势？

　　小结：取中列举法在逐一和跳跃的基础上直取中间数，验证后调整幅度缩小更为简便快捷(板书取中)

　　（3）、回顾一下我们的解题思路和方法，首先根据已知信息进行尝试猜测，然后进行计算验证，分析后进行合理调整。(相机板书：猜测、验证、调整）

　　4）你最喜欢那种列表方法？理由呢？

　　（5）、同学们还有其他的方法解决这道题吗？

　　直观画图法：大家明白了吗？你觉得这种解法怎么样？

　　小结：画图的方法非常直观便于观察、非常容易理解。

　　（6）、同学们还有具有独特个性的解法吗？可以用自己的名字命名汇报。

　　【设计意图：在问题情境中探究解决问题的方法，给学生足够的空间经历数学知识的形成过程，体验猜测—验证—调整—再验证—再调整的过程，从而得到解决鸡兔同笼问题的一般策略。】

　　过渡：你们在这么短的时间内就想出了这么多解决鸡兔同笼问题的方法，你们很了不起。

　　四、方法应用，巩固新知（5分）

　　过渡语：鸡兔同笼问题由我国传到了日本叫做龟鹤问题，日本的龟鹤问题和我国的鸡兔同笼问题有联系吗？抓住数学的本质，这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅代表兔，运用我们所学的方法来解决一些生活中的鸡兔同笼问题，

　　基本题;请看题：

　　(1)迎奥运学校开展乒乓球比赛，有12个球案在进行单打和双打比赛，共有30人正在比赛，单打、双打球案各有几张？

　　独立完成后学生汇报：

　　你采用的是那种列表方法?

　　为什么要选用这种列表方法？

　　谁有不同的列表方法？

　　就这道题而言你认为用哪种方法解决最好？

　　单双打问题与鸡兔同笼问题有什么联系？日

　　那还有什么问题与鸡兔同笼有联系呢?到我们的实际生活中去看一看，请看题；（课件出示）

　　【设计意图：学数学用数学，引领学生抓住数学的本质，学习鸡兔同笼问题并非单纯解决鸡兔同笼问题。】

　　五、分析应用，提高升华（14分）

　　（一）分析数量关系，提高认知水平

　　1、在我们购物消费中的鸡兔同笼问题，那么它与鸡兔同笼问题有什么联系：

　　小明买了6角和8角的两种铅笔共7支花了5元钱，分别买了多少支？（生：6角相当于鸡的两条腿，8角相当于兔的四条腿，7支相当于鸡兔 的总头数，5元相当于推的总条数；）

　　2、在活动安排中的鸡兔同笼问题，那么它与鸡兔同笼问题有什么联系：

　　学校准备开展一次象棋和跳棋的比赛，象棋和跳棋学校共有31副，恰好可让150个学生同时进行比赛，象棋2人一副、跳棋6人一副，象棋和跳棋各有多少副？

　　（生：31副相当于鸡兔的总头数；150人相当于鸡兔的总推数；2人一副相当于鸡的两条腿；6人一副相当于兔的四条腿。

　　【设计意图：分析两道生活中的鸡兔同笼问题，目的在于进一步明确类似鸡兔同笼问题的数量关系，为解决问题奠定基础；希望同学们留意生活中的数学问题，体会数学的价值。】

　　（二）实践应用拓展，解决实际问题

　　3、运输中的鸡兔同笼问题

　　地震后要用大小卡车往灾区运29吨食品，大卡车每辆每次运5吨，小卡车每辆每次运3吨，大小卡车各用几辆能一次运完？

　　尝试运用你喜欢的方法独立完成此题

　　学生汇报：

　　你采用的是那种列表方法?

　　为什么要选用这种列表方法？

　　谁有不同的列表方法？

　　1）、(如分别出现两种不同的正确答案）两种答案都正确吗？那么用什么方法能使所有的正确答案都不遗漏呢？师生集体尝试逐一列表的方法。

　　就这道题而言，你认为它与鸡兔同笼问题有什么联系？不同之处呢？（没有限定大小卡车的总辆数）

　　哪种方法解决最好？

　　或

　　2)、（如出现一名同学有两个正确答案和分别一个正确答案）你认为谁的方法更好？

　　过渡语：老师相信同学们一定会耐心细致的做每一件事请。

　　【设计意图：此练习题的出示目的是使学生经历发现问题，解决问题的学习过程，并且明确因题而异选择方法，对于本题来讲选用逐一列表法最为合适，进一步认识逐一列表法的优势好处。】

　　六、总结全课交流收获（3分）

　　生活中随处可见鸡兔同笼问题，愿意告诉老师这节课你的学习收获吗?

　　结束语：数学自古以来是中国历史上的璀璨明珠，在我们的生活中无处不在，我相信同学们只要敢于猜测尝试、并且不断的实践验证、调整创新，任何问题都能迎刃而解。

　　板书设计:

　　鸡兔同笼

　　插图、古题译文;

　　列表法 思路

　　逐一 猜测

　　跳跃 验证

　　取中 调整

　　直观画图法 假设算术法 假设方程法