五年级奥数专题六:数的整除性(2)(2)
因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除,所以等号右边第二个数也能被7整除,推知55□99能被7整除。根据能被7整除的数的特征,□99-55=□44也应能被7整除。由□44能被7整除,易知□内应是6。
下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。
判断一个数能否被27或37整除的方法:
对于任何一个自然数,从个位开始,每三位为一节将其分成若干节,然后将每一节上的数连加,如果所得的和能被27(或37)整除,那么这个数一定能被27(或37)整除;否则,这个数就不能被27(或37)整除。
例6 判断下列各数能否被27或37整除:
(1)2673135;(2)8990615496。
解:(1) 2673135=2,673,135,2+673+135=810。
因为810能被27整除,不能被37整除,所以2673135能被27整除,不能被37整除。
(2)8990615496=8,990,615,496,8+990+615+496=2,109。
2,109大于三位数,可以再对2,109的各节求和,2+109=111。
因为111能被37整除,不能被27整除,所以2109能被37整除,不能被27整除,进一步推知8990615496能被37整除,不能被27整除。
由上例看出,若各节的数之和大于三位数,则可以再连续对和的各节求和。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法:
为了叙述方便,将个位是9的数记为 k9(= 10k+9),其中k为自然数。
对于任意一个自然数,去掉这个数的个位数后,再加上个位数的(k+1)倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9,那么这个数能被k9整除;否则,这个数就不能被k9整除。
例7 (1)判断18937能否被29整除;
(2)判断296416与37289能否被59整除。
解:(1)上述变换可以表示为: