小学五年级奥数专题十:质数与合数(3)

　　（2⁹⁸+3）是奇数，不能被2整除； 2⁹⁸不能被3整除，所以（2⁹⁸+3）也不能被3整除；（2⁹⁸+1）能被5整除，（2⁹⁸+3）比（2⁹⁸+1）大2，所以（2⁹⁸+3）不能被5整除。再判断（2⁹⁸+3）能否被7整除。首先看看2ⁿ÷7的余数的变化规律：

　　因为98÷3的余数是2，从上表可知2⁹⁸除以7的余数是4，（2⁹⁸+3）除以7的余数是4+3=7，7能被7整除，即（2⁹⁸+3）能被7整除，所以（2⁹⁸+3）是合数。

　　　　例5 已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A。

　　　　分析与解：从最小的质数开始试算。

　　A=2时，A+10=12，12是合数不是质数，所以A≠2。

　　A=3时，A+10=13，是质数；A+14=17也是质数，所以A等于3是所求的质数。

　　A除了等于3外，还可以是别的质数吗？因为质数有无穷多个，所以不可能一一去试，必须采用其它方法。

　　A，（A+1），（A+2）除以3的余数各不相同，而（A+1）与（A+10）除以3的余数相同，（A+2）与（A+14）除以3的余数相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余数各不相同。因为任何自然数除以3只有整除、余1、余2三种情况，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一个能被3整除。能被3整除的质数只有3，因为（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是说，本题唯一的解是A=3。

　　练习10

　　1.现有1，3，5，7四个数字。

　　（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？

　　（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？

　　2.a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。

　　3.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出所有满足要求的质数A。

　　5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。

　　6.判断2⁶⁶+3⁸⁸是不是质数。

　　7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个三位数，这个三位数是a的87倍，求a和b。