小学五年级奥数专题十:质数与合数(2)
例2 判断269,437两个数是合数还是质数。
分析与解:对于一个不太大的数N,要判断它是质数还是合数,可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2,再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N,那么N是质数;如果这些质数中有一个能整除N,那么N是合数。
因为269<172=289。17以内质数有2,3,5,7,11,13。根据能被某些数整除的数的特征,个位数是9,所以269不能被2,5整除;2+6+9=17,所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知,这6个质数都不能整除269,所以269是质数。
因为437<212=441。21以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。容易判断437不能被2,3,5,7,11整除,用13,17,19试除437,得到437÷19=23,所以437是合数。
对比一下几种判别质数与合数的方法,可以看出例2的方法的优越性。判别269,用2~268中所有的数试除,要除267个数;用2~268中的质数试除,要除41个数;而用例2的方法,只要除6个数。
例3 判断数1111112111111是质数还是合数?
分析与解:按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数,当然是很麻烦的事,能不能想出别的办法呢?根据合数的意义,如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积,那么这个数是合数。
根据整数的意义,这个13位数可以写成:
1111112111111
=1111111000000+1111111
=1111111×(1000000+1)
=1111111×1000001。
由上式知,111111和1000001都能整除1111112111111,所以1111112111111是合数。
这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。
例4 判定298+1和298+3是质数还是合数?
分析与解:这道题要判别的数很大,不能直接用例1、例2的方法。我们在四年级学过an的个位数的变化规律,以及an除以某自然数的余数的变化规律。2n的个位数随着n的从小到大,按照2,4,8,6每4个一组循环出现,98÷4=24……2,所以298的个位数是4,(298+1)的个位数是5,能被5整除,说明(298+1)是合数。