六年级奥数专题十三:立体图形（1）(2)

　　分析与解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积4厘米2 ，所以总的表面积为

　　（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米2）。

　　例5 右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？

　　分析与解：一个长方体有8个角、12条棱、6个面，角上的8个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。

　　根据上面的分析得到：

　　三面涂有红色的小立方体有8块；

　　两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（块）；

　　一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有

　　［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）×（6-2）］×2＝ 52（块）。

　　一般地，当a，b，c都不小于2时，对于a×b×c的立方体：

　　三面涂有红色的小立方体有8块；

　　两面涂有红色的小立方体的块数是：

　　［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4；

　　一面涂有红色的小立方体的块数是：

　　［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2；

　　没有被涂上红色的小立方体的块数是：

　　（a-2）×（b-2）×（c-2）。

　　例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。）

　　分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。

　　（1）两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。

　　（2）两个红色面相邻。此时，除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。