新课程倡导在研究、了解学生的基础上，设计符合学生认知特点并激发学生积极主动参与学习的教学。即数学教学的过程是教师与学生、学生与学生之间思维互动、情感共鸣的过程，以此达到对知识技能的把握，培养数学能力，同时对数学（甚至对人生）产生积极的情感和态度。

　　因此，教师必须设计“有思维过程”的教学以达到上述目标。那么，什么是有思维过程的教学？怎样才能设计出这样的教学？教学实施过程中如何把握并用好学生精彩的生成？这一切需要教师读懂学生的已有经验与思维特点，我们将结合“加、减法的初步认识”的教学来阐释。

　　对加、减法的理解几乎是每个成年人的常识（不用问“为什么”），但也正由于这种“常识性”，使得教师往往按照成人的理解以及思维习惯来看待学生的学习，容易将“现成的结论”告诉（教）给学生并加以大量的训练。这样的教学既不能使学生获得对数学概念的真正理解，又易使学生遭遇人为的障碍，从而逐步对数学学习产生厌恶。下面以“加法初步认识”以及“减法初步认识”为例，通过对比，分析学生在学习加减法时的思维过程，以及教师应该设计哪些“过程”促进学生理解概念的本质，并对数学产生积极情感。

　　一、案例回放

　　【案例1】

　　为了认识加法，上课教师在课前安排了一个游戏：左手拿3块糖，右手拿2块糖，然后“合并”起来，让学生猜猜教师手里一共有多少块糖，再让学生一个一个地数一数加以验证。教师强调“合并”、“一共”等词汇，然后正式上课。

　　第一个情境（用动画演示）：大树上有2只小鸟，然后又飞来1只小鸟，现在大树上有几只小鸟？（因为是动画，最后大树上有3只小鸟，看不出是由“哪两部分构成的”）

　　学生重复该问题，教师分析强调“两部分合起来”、“一共有多少”就用“加法”计算（教给学生加法的定义，学生没有感受和体验），并列算式为2+1=3。

　　接着，教师进一步提问：“2”表示什么？“1”表示什么？“3”表示什么？然后抽象出：已知一部分和另一部分，求整体是多少就用加法计算，并用手势进一步强调“部分”与“整体”。（正如上课教师所说：我班学生都会解答这个问题，我还“教”什么呢？只能进一步地抽象）

　　第二个情境（用动画演示）：池塘里有3只鸭子，又游过来2只，现在有多少只鸭子？（画面上有5只鸭子，看不出是由“哪两部分构成的”）

　　学生顺利列出算式并解答：3+2=5。

　　师：为什么列加法算式？（教师的意图是“巩固练习”，因为前面已经讲过“什么是加法”）

　　生1：因为本来就是加法。

　　生2：因为又游来了2只。

　　生3：要是用减法，就表示2只鸭子游走了。

　　（由于学生的回答不符合教师的预设，教师对学生的回答没有任何评价与反馈）教师只好进一步强调“这个问题是求'一共'有多少只，就是求部分与部分合并起来（手势）有多少，要用加法计算”。

　　师：要是没有这个图，你能知道“3+2”为什么等于5吗？

　　生4：就好比马路上有车……（教师没有让他继续说下去）

　　生5：我就是数鸭子数出来的。

　　生6：就用口算，一口算就知道是5。

　　师（上述回答都不是教师想要的答案，只好进一步引导）：再想想5可以分成几和几。

　　在教师的引导下，学生终于知道了“因为5可以分成3和2，所以3+2=5”。然后，教师让学生再“这样”说了两遍。

　　第三个情境：教师同时出示两幅图片，左边图片上有1个梨，右边图片上有3个梨。

　　师：看到这幅图，能得到哪些数学信息？提个数学问题。

　　生：您原先有1个梨，再拿来2个梨，您现在有几个梨？

　　教师不得不一再纠正：左边有1个梨，右边有3个梨，合起来一共有多少个梨？

　　学生再回到“教师的思路上”，列式计算。教师再追问“1+3”为什么等于4。在教师的引导下，学生通过数的组成与分解来说明“1+3”为什么等于4。

　　【案例2】

　　学生在理解减法以及减法计算时可能会遇到很多学习加法时所没有遇到的困难。同时，加、减法也有其共性，即都是解决某类问题的“工具”，或者是对某类问题所抽象出的数学模型。因此，学习每一种运算的意义就是经历一个“建模”的过程，即是一次“数学化”。教学如何让学生经历这个“过程”？如何在该“过程”中对“减法的意义”有认识和体验？下面是北京小学魏来红老师在教学“减法的初步认识”时的案例。

　　教学片段一（初步认识减法）：教师先利用电脑动画设计停车场的情境，学生很快发现信息并提出问题：停车场原来有5辆小汽车，开走了2辆，停车场还剩几辆小汽车？

　　学生很顺畅地列算式并计算，教师将算式板书在黑板上。

　　教学片段二（经过操作进一步感知“减法”的意义）：教师请学生利用手中的学具，自己动手“创作”一个用“减法”解决的问题，并列式解决。（这一环节的意图是让每个孩子都亲历“减法”意义的感知过程，并通过板书学生所列出的各种不同的减法算式，为后续观察、比较、总结减法的意义做素材准备）

　　教学片段三（汇报交流）：一位小女孩到实物展台前一边演示“水果”学具，一边介绍自己刚才的操作过程：“我本来有5个水果，送给同桌2个，我还剩几个水果？我列的算式是5-2=3。”

　　话音刚落，另一位男孩喊到：“怎么还是5-2=3啊？重复了！不能写到黑板上。”“我没重复，这次不是汽车，是水果。”展台前的女孩不服气地为自己辩解。坐在下面的男孩竟站了起来反驳：“反正你的算式是5-2=3，还说不重复。”女孩一脸疑惑地看着教师。

　　教师请学生发表自己的看法，大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说得有道理，辩论不出结果。

　　这时教师问：“你还能想一个'事情'，也用5-2=3来表示吗？”于是孩子们的思维活跃起来，编出了很多的情境。例如：教室里有5个小朋友，走了2个，还剩下3个；草地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，还剩下3朵；5支铅笔，丢了2支，还剩3支……这时刚发完言的一名学生不肯坐下：“我还能说这样的好多事儿呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本领真大呀。”

　　教师继续捅破“那层窗户纸”：“为什么有的事情是发生在停车场里，有的事情发生在教室里，有的说的是摘花，有的说的是铅笔，完全不一样的事，却能用同一个算式来表示呢？”孩子们终于发现，虽然事件是不一样的，但它们所表示的意思都是一样的，都是从5里面去掉2，剩下3，所以都用5-2=3来表示。教师又问：“3+6=9可以表示的事情多不多？”这时候学生都不去举具体的例子了，他们脱口而出“那太多了”。

　　看到孩子们“意犹未尽”的样子，教师问：“你们现在有什么想法？”其中一个学生说：“我觉得'数'和'算式'都太神奇了，能表示那么多不同的事。”

　　二、问题、分析与诠释

　　前面所讲述的案例，蕴含很多值得深入反思与分析的问题。为了紧扣本文的主题--了解学生的思维特点，实施有过程的教学，我们将探讨如下问题

　　1. 如何让学生真正经历“建模”过程来理解加法与减法的意义？

　　2. 一年级的学生是怎么知道加、减法的“得数”的？其理解过程与水平是什么？

　　针对上述所提问题，在参阅文献以及教学经验的基础上，做如下分析。

　　（一）让学生经历“过程”，实现对概念的真正理解

　　案例1与案例2中的”例1“的教学目的是一样的，即先初步理解加、减法，对加、减法的

　　“结构”有一个初步认识。但案例1中的教师显然“着急”着教给学生“结论”：已知一部分和另一部分，求整体是多少就用加法计算。而案例2中的教师“不着急”，只是先让学生对减法有初步感知。因此，两个案例中紧接着的第二个活动设计的意图和效果就不同——案例1中教师设计的活动显然是对所教“结论”的巩固和强化。由于教师提出的两个问题“为什么用加法”“3加2为什么等于5”都非常抽象，而且教师的理念是“刚才我已经'教'了，现在你们就应该会用”，没有考虑到一年级学生的思维特点，如此抽象的结论仅凭教师告知“一遍”，学生怎么能准确地“复述”呢？显然这样的教学是“教与练”，是“告知”式的，缺少学生自己的感知、质疑、争论、思考与体验。

　　案例2中教师设计的活动是“开放性”活动。通过学生的操作，创设能用“减法”解决的问题，再次感知“减法模型”，然后整体上比较、概括所编“算式”的共同之处，抽象出“减法”，从而理解减法的意义。由于教师对“减法”的定位就是要让学生通过案例抽象概括出其“模型”，因此当教学中没有按照教师的预设进行时，教师仍能成功地诊断出学生“争论”的本质所在--减法是解决某类问题的一个数学模型，它关注的是抽象的数量关系而非现实意义。但学生的学习不能直接“背诵”抽象数量关系，必须在大量的现实情境中做出取舍、抽象和概括，并在质疑、争论、举例以及教师及时、到位的“点拨”引导下来学习。学生经历的“过程”非常充分，因而能够认识到减法解决的就是“从整体中去掉一部分，求另一部分”，甚至有的学生能够感悟出“数和算式都太神奇了”。

　　让学生认识到“加、减法是解决一类问题的重要模型”，并让学生经历“建模”的过程非常重要。如果教师没有这方面的认识，那么就不能抓住教学中的生成。例如，在案例1中，有学生说“就好比马路上有车，或者……”，是否该学生想说的就是“3+2=5”不仅能解决“鸭子有多少只”，还可以解决“马路上有多少汽车”或者其他的“求和”问题？由于教师并没有将“加法是解决一类问题的模型”作为一个教学目标，因此就没有抓住学生的生成。相反，在案例2中，由于教师认识到“减法是解决一类问题的模型”，因此课堂就能引导学生共同讨论“水果是否等于汽车”，从而使学生体验到“算式真神奇”。这样的教学就不单单是教计算了，而是对计算意义的深刻理解，从而带来学生对数学的积极体验--算式真神奇！

　　（二）学生为什么说“我是数鸭子数出来的”

　　“3+2”为什么等于5？是因为“5可以分成3和2，或者2和3可以组成5”？学生在计算结果时经历怎样的思维过程？我们是否把成人的“理由”强加给学生？

　　由于成人进行加、减计算几乎是一种自动化的行为，因此就容易对学生在学习加、减计算过程中的思维活动，特别是所经历的思维发展过程认识不足--要么忽视其思维过程，要么将自认为的“理由”强加给学生。

　　学生算得加、减法结果的模式主要有以下两种1。

　　1. 单一性概念结构

　　单一性概念结构指在计算时涉及一个计数单位。例如，20以内的加减法，它的运算对象只有一个计数单位“一”。虽然计算结果出现计数单位“十”，但“十”并没有作为独立的计数单位再进一步参与计算（例如，没有涉及2个“十”或3个“十”的“和”或者“差”）。

　　美国学者富森又进一步将“单一性概念结构”细化为三个阶段，或者说三个水平

　　第一阶段：加项或和的单一表示（The single representation of an addend or the sum）。

　　在这一阶段，儿童主要借助于“实物”，将“合并”在一起的“实物”从“1”开始数起。例如，在本教学过程中，为什么是5只鸭子呢？学生就是一只鸭子对应于一个“数”，指着一只鸭子“数”1、另一只鸭子“数”2……“数”到5，从而得出结果是“5只鸭子”。

　　第二阶段：简化的计数过程（abbreviated sequence counting procedures）。

　　在这一阶段，两数相加的和仍是“数”出来的，只不过儿童已经有了进一步的发展，他们不再是从“1”数起，而是从第一个加数开始，继续数下去。例如，6+3=9，儿童的计算过程就是继续数：7、8、9，数“3个”数就结束，所以6+3=9。对一年级学生而言，这是一个比较复杂的过程，涉及到“双重计数”1。

　　在“继续数”的过程中，儿童也容易出错。例如，笔者刚上小学的女儿曾经连续三周出错：6+3=8。我们一直认为是孩子马虎，到第三周时，她仍然是“6+3=8”。我问她：“对吗？”她马上就能正确地改正。真是马虎吗？这一次我问她：“为什么你总是6+3=8呢？”她伸出小手掰着手指（说一个数就弯下一个手指，弯3个手指）说：“妈妈，不就是6、7、8吗？就是等于8，可你们非说等于9。”

　　第三个阶段：利用已知事实计算结果（derived fact and known fact procedures）。

　　这个阶段的主要特点是学生在计算时会利用已知的事实。例如，学生计算9+7，若其过程为9+7=（9+1）+6=10+6=16，则这一计算过程显然直接用到了9+1=10，10+6=16这些“事实”，即学生运用“凑整”法进行计算是思维的高级阶段。这也是为什么新课程强调算法多样化并逐步实现最优化的原因所在。在汉语中，由于“一音一字一意”，学生能够很方便地利用“已知事实”。例如，“十一就是十加一”。而英语则不具有这样的优势。例如，“11”叫“eleven”，是一个新单词，而不是“ten-one”。因而，我国小学生的计算速度快于英、美等英语国家。

　　2. 多单位概念结构

　　多单位概念结构主要指进行竖式计算时，运算的对象即计数单位已经不仅仅是单一的“一”，而要涉及多个计数单位，如“十”、“百”……

　　富森指出，形成多单位概念结构，即掌握竖式加、减法计算的三个必要前提是

　　（1）认识到只有同一数位的数才能直接进行加、减；

　　（2）同一数位上的数的加、减与个位数的加、减完全相同；

　　（3） “进位”与“退位”。

　　显然，牢固掌握个位数的加、减法是迅速和准确地进行多位数加、减法的一个必要前提。因此，“20以内的加、减法”是整个计算教学的核心。借助于汉语的优势，学生对其能够达到自动化的程度。有此“优势”，学生再进行多位数的加、减法计算时，其速度和正确率远高于英、美等英语国家学生的水平。

　　由此可以看出，对加、减法的理解的核心仍是对数的“十进位值制”的理解，加、减法的核心是相同计数单位“个数”进行“加”或“减”，当“满十”时就要向前一位“进一”。